Главная > Физика > Квантовая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.7.5. Упругое рассеяние в эйкональном приближении.

Если энергия частицы достаточно велика, а угол рассеяния мал, то для волновой функции можно воспользоваться высокоэнергетическим приближением (см. п. 1.3.4). Подставляя выражение (1.3.27) для в общую формулу для амплитуды рассеяния (1.7.14) и отбрасывая члены порядка получим следующее выражение для амплитуды рассеяния в эйкональном приближении:

    (1.7.37)

где

и ось z параллельна множитель мы заменили на единицу, так как компонента переданного импульса пропорциональна Выполнив в интегрирование по z, получим

    (1.7.39)

Подставляя это выражение в (1.7.11) и производя суммирование по поляризациям, получим дифференциальное сечение упругого рассеяния быстрых частиц в эйкональном приближении

    (1.7.40)

Учет в формулах (1.3.20) и (1.7.40) членов порядка приводит к следующему выражению для амплитуды рассеяния [27, 28]:

    (1.7.41)

где

    (1.7.42)

и предполагается, что .

В случае потенциала в (1.7.41) можно выполнить интегрирование по углу между . В результате получим

    (1.7.43)

где — функция Бесселя. (В формулах (1.7.41) и (1.7.43) мы явно выписали постоянную Планка .)

Эйкональное приближение, как уже отмечалось, справедливо в области малых углов рассеяния. Если малые углы рассеяния играют главную роль, то, используя (1.7.40), можно найти интегральное сечение рассеяния

Заменяя в этом случае на имеем , где . Выполнив теперь интегрирование по , получим

    (1.7.44)

Это выражение находится в соответствии с оптической теоремой (1.7.25).

Приведем несколько предельных случаев эйкональной амплитуды рассеяния. Если , то

Так как величина пропорциональна пропорциональна , то первое слагаемое в выражении для соответствует первому борновскому приближению, а второе слагаемое — второму борновскому приближению.

Пусть теперь , но по-прежнему . Этот предельный случай соответствует переходу к классической механике. При можно воспользоваться следующим асимптотическим представлением функции Бесселя:

Поэтому амплитуда рассеяния (1.7.43) приобретает вид

Для вычисления входящего сюда интеграла можно воспользоваться методом стационарной фазы [29]. В результате получим

    (1.7.46)

где определяется из условия стационарности фазы

Дифференциальное сечение при этом совпадает с результатом, даваемым классической теорией рассеяния:

    (1.7.48)

Этой формулой можно пользоваться, если .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление