Главная > Физика > Квантовая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.5.2. Сферически-симметричная потенциальная яма.

Рассмотрим энергетический спектр в простейшем случае сферически-симметричной потенциальной ямы

где — глубина и — ширина ямы.

Исключая из системы (1.5.4) функцию получим следующие уравнения для определения

Общее решение этих уравнений имеет вид

где — функции Бесселя и Неймана,

Из условия конечности при следует, что Вместо условия конечности при мы введем условие где константа R удовлетворяет условию Это соответствует помещению системы в сферический ящик с непроницаемыми стенками радиуса R. Принципиального значения такое изменение граничного условия не имеет. Но практически оно удобно тем, что делает весь спектр дискретным с очень малым расстоянием (порядка 1/R) между соседними значениями в области (мы пишем модуль , так как параметр в (1.5.8) может быть как положительным, так и отрицательным). Благодаря дискретности спектра можно следить за изменением положения каждого уровня при изменении .

Из граничных условий следует, что

Требование непрерывности при приводит окончательно к формуле

где — некоторая константа.

Энергетический спектр определяется из условия

где . Выразив через при помощи (1.5.4) и используя асимптотические выражения функций, содержащих в аргументе R, получим при

где — функция Ганкеля. Мы рассмотрим здесь случай Тогда

и уравнение (1.5.10) принимает вид

где

Это уравнение легко решить в предельных случаях широкой и узкой ямы. В первом случае

Отсюда следует, что первое связанное состояние появляется при т. е. при как и в соответствующей нерелятивистской задаче. Энергия уровня достигает значения при

и значения при

Во втором случае состояния с достигаются при следующих значениях

На рис. 1.1 схематически изображена зависимость энергетического спектра от глубины ямы при заданном радиусе ямы [16, 17]. Мы видим, что при связанные состояния отсутствуют. Спектр состоит, как и при отсутствии внешнего поля, из двух областей , которые мы будем называть верхним и нижним континуумами. При нижний из уровней верхнего континуума принимает значение, меньшее , т. е. появляется одно связанное состояние. При появляется второе связанное состояние и т. д.

Рис. 1.1.

Значение энергии для каждого связанного состояния непрерывно уменьшается с ростом и даже становится при отрицательным. Тем не менее мы можем причислить эти состояния к электронным состояниям, так как адиабатическим изменением внешнего поля можно вернуть такие состояния в верхний континуум. Трудность возникает, когда при значении уровень пересекает границу и сливается с нижним континуумом, представляющим собой совокупность позитронных состояний. Это значение которое может быть названо критическим, соответствует, очевидно, и равно

При корни уравнения (1.5.11) становятся комплексными. Физический смысл имеют при этом только корни с отрицательной мнимой частью так как в этом случае волновые функции обращаются в нуль при Наличие такого типа корней означает, что соответствующие им состояния являются квазистационарными со временем жизни

Возникновение комплексных корней связано с образованием полем при электронно-позитронных пар [17, 18]. Теория этого явления выходит за рамки одночастичного уравнения Дирака, но его можно описать, если привлечь представление об

электронно-позитронном вакууме как совокупности состояний в нижнем континууме, полностью запятых электронами.

При оба континуума могут быть изображены схематически, как показано на рис. 1.2 (жирная линия изображает профиль потенциальной ямы).

При этом, очевидно, электрон с энергией может перейти из нижнего континуума в верхний. Это и означает, что образовалась электронно - позитронная пара. Освободившееся в нижнем континууме состояние будет вести себя как позитрон, в верхнем же континууме появится электрон.

Рис. 1.2.

Вероятность образования пары определяется шириной квазистационарного уровня у. Ее легко найти, если мало отличается от . Полагая в этом случае , где получим из (1.5.11)

С другой стороны, из определения а следует, что

Поэтому

Полагая и пренебрегая сперва величиной , найдем отсюда

Учитывая далее величину найдем у:

В предельном случае широкой ямы

в случае узкой ямы

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление