Главная > Физика > Квантовая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3.2. Второе приближение.

Найдем теперь второе приближение, продолжив разложение до членов порядка Ограничимся случаем, когда имеется только постоянное внешнее электрическое поле.

Подставив в отброшенные ранее члены второго уравнения (1.3.3) значение в первом приближении и решив это уравнение относительно , получим

Подставив далее это выражение в первое уравнение (1.3.3), получим следующее уравнение для :

Умножая это уравнение на и сохраняя члены порядка не выше перепишем его в виде

Хотя это уравнение формально и имеет вид уравнения Шредингера, тем не менее оно им не является, так как функция не имеет точного смысла волновой функции электрона, а оператор Н нельзя рассматривать как оператор Гамильтона. Действительно, интеграл не сохраняется во времени (согласно уравнению непрерывности сохраняется интеграл ), поэтому нельзя пронормировать; оператор же Н не является самосопряженным, так как он содержит слагаемое

Чтобы найти волновую функцию и гамильтониан во втором приближении, произведем преобразование , где — некоторый оператор, не содержащий явно времени. Тогда будет удовлетворять уравнению

Если мы подберем теперь О таким образом, чтобы выполнялось условие

то Ф можно будет интерпретировать как волновую функцию, а Н — как гамильтониан во втором приближении.

Подставляя в это условие вместо выражение (1.3.4), получим

откуда следует, что с требуемой точностью оператор О имеет вид

Так как оператор О отличается от единицы на слагаемое порядка , то преобразование не затрагивает уравнения первого приближения, в котором, с точностью до членов порядка функция является нормируемой.

Найдем теперь оператор Гамильтона во втором приближении. Используя выражения для операторов О и Н, получим, сохраняя члены порядка

Замечая, что

где — электрическое поле, получим окончательно следующее выражение для оператора Гамильтона:

    (1.3.11)

Этот оператор, как легко видеть, является эрмитовским.

Последние три члена в гамильтониане (1.3.11) являются поправками порядка . Из них первый член учитывает зависимость массы от скорости, а второй можно интерпретировать как энергию взаимодействия движущегося магнитного диполя с электрическим полем. Поскольку электростатическое поле удовлетворяет уравнению , где — плотность зарядов, создающих поле, то последний член отличен от нуля только в тех точках, где находятся эти заряды.

До сих пор мы считали, что внешнее магнитное поле отсутствует. Чтобы получить гамильтониан при наличии такого поля, нужно в выражении (1.3.11) произвести замены

где А — векторный потенциал. В результате мы получим следующее выражение для гамильтониана с учетом членов порядка

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление