Главная > Физика > Квантовая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.6.3. Радиационные поправки к функции Лагранжа электромагнитного поля в вакууме.

Малым частотам соответствуют медленно изменяющиеся поля, состояние которых можно описывать функцией Лагранжа, зависящей только от компонент поля и не зависящей от их производных по координатам и времени.

Рис. 5.16.

Так как лагранжиан должен быть релятивистским инвариантом, то поля могут входить в функцию Лагранжа только в виде двух комбинаций , являющихся единственными независимыми инвариантами поля Если поля являются достаточно слабыми, то лагранжиан поля L можно разложить в ряд по степеням и ограничиться в разложении членами второго и четвертого порядков:

где а, b — некоторые константы и F — тензор электромагнитного поля. Члены, объединенные в U, представляют собой радиационную поправку к основной плотности функции Лагранжа

Лагранжиан V можно связать с сечением рассеяния фотона фотоном. Действительно, матрица рассеяния порядка связана с лагранжианом взаимодействия полей соотношением

Поэтому если мы хотим описывать взаимодействие фотона с фотонами с помощью некоторого лагранжиана L, то он должен быть по определению связан с матрицей рассеяния порядка соотношением

или

    (5.6.11)

Подчеркнем, что такое рассмотрение законно только для медленно изменяющихся полей:

    (5.6.12)

Подставляя в (5.6.11)

получим

    (5.6.13)

где — некоторые симметризованные тензоры, содержащие слагаемые вида и их свертки по греческим индексам (мы не будем выписывать их здесь в явном виде). Сравнивая эту формулу с формулой (5.6.3) для можно связать тензор рассеяния фотона фотоном с тензорами

Подставив это выражение в (5.6.5), получим сечение рассеяния фотона фотоном в системе их центра инерции

(индекс ; служит для обозначения двух различных поляризаций фотона ).

Можно показать, что

    (5.6.15)

где — единичные векторы в направлении k и и — угол рассеяния, Подставляя это выражение в (5.6.14) и усредняя по поляризациям фотонов, получим

    (5.6.16)

Мы видим, что частотная и угловая зависимости сечения рассеяния фотона фотоном при не связаны с конкретными значениями констант а и b, и только величина сечения определяется этими константами.

Приведем значения М для различных поляризаций фотонов. Будем обозначать через поляризацию фотона лежащую в плоскости рассеяния , и через поляризацию, перпендикулярную к плоскости . Тогда согласно (5.6.15)

    (5.6.17)

Из этих формул следует, что, вычислив непосредственно величину М для двух состояний поляризации фотонов (например, ) при фиксированном угле рассеяния (например, при можно найти константы а и

Мы приведем только окончательный результат:

Подставив эти значения а и b в (5.6.16), найдем дифференциальное сечение рассеяния фотона фотоном при

Проинтегрировав получим формулу (5.6.8).

Наконец, подставив (5.6.18) в (5.6.10), найдем радиационные поправки к лагранжиану электромагнитного поля

Зная лагранжиан, можно найти плотность электромагнитной энергии в вакууме

    (5.6.21)

где

Эта величина представляет собой радиационную поправку к классической плотности энергии .

Нелинейные электродинамические эффекты можно описывать с помощью зависящих от полей диэлектрической и магнитной проницаемостей вакуума. Чтобы найти эти величины, определим электрическую и магнитную индукции D и В:

Используя (5.6.20), получим

В макроскопической электродинамике связаны с Е и Н соотношениями

Сравнение этих формул с (5.6.22) показывает, что тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей вакуума для слабых и медленно меняющихся полей равны

    (5.6.23)

Эти формулы показывают, что вакуум при наличии магнитного поля становится анизотропным.

Формула для радиационной поправки к лагранжиану L может быть использована для установления модификации закона Кулона на больших расстояниях от заряда. В случае чисто электрического поля лагранжиан имеет вид

Полагая здесь получим из вариационного принципа

следующее уравнение для определения потенциала точечного заряда

Предполагая, что решение мало отличается от мы придем к решению

о котором говорилось в п. 5.2.1.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление