Главная > Физика > Квантовая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.2.4. Алгебра матриц Дирака.

Мы видим, таким образом, что уравнение Дирака определяется не столько явным видом матриц сколько их алгебраическими свойствами, заключенными в соотношениях (1.1.13). От данной совокупности матриц можно перейти к другой у при помощи преобразования подобия (3.2.8). Справедливо и обратное утверждение: если две совокупности четырехрядных матриц удовлетворяют соотношениям (1.1.13), то они связаны между собой преобразованием подобия (1.2.8), причем матрица U определяется с точностью до численного множителя однозначно (основная теорема о матрицах Дирака [7]).

Изучим подробнее алгебру матриц Дирака.

Если рассмотреть все произведения различного числа матриц у, то произведения более чем четырех матриц будут сводиться в силу (1.1.13) к произведениям двух, трех и четырех матриц. Поэтому все произведения могут быть сведены к следующим линейно-независимым 16 матрицам:

или к матрицам

    (1.2.14)

Из линейной независимости 16 матриц следует, что число строк и столбцов в квадратных матрицах не может быть меньше четырех.

Шестнадцать матриц образуют полный набор четырехрядных матриц и по ним может быть разложена любая четырехрядная матрица

    (1.2.15)

Поскольку уравнение Дирака определено с точностью до преобразования подобия (1.2.7), (1.2.8), физические результаты» получаемые на основе этого уравнения, должны выражаться через величины, инвариантные относительно таких преобразований. Такими практически очень важными инвариантами являются следы произведений матриц

Прежде всего легко видеть, что след произведения нечетного числа матриц равен нулю:

Определим следы произведений четного числа матриц Если число их равно двум, из (1.1.13) немедленно получаем

    (1.2.16)

Определим далее . Замечая, что имеем

и, учитывая, что

найдем, используя (1.2.16),

В общем случае

    (1.2.18)

где — некоторая комбинация индексов и сумма берется по всем возможным комбинациям пар чисел ; N — число парных перестановок, переводящих последовательность причем порядок следования индексов внутри каждой пары отвечает их порядку в последовательности . Число слагаемых в сумме равно, очевидно, .

Знаки отдельных слагаемых в (1.2.18) удобно находить следующим образом Сопоставим каждой матрице точку на окружности и расположим их в таком же порядке, в каком они расположены в левой части равенства. Соединим далее эти точки попарно прямыми линиями. Тогда каждой прямой, соединяющей точки i и k, соответствует множитель , а каждому способу соединения точек — слагаемое — число точек пересечения прямых.

Из (1.2.18) легко заключить, что

    (1.2.19)

где единичный антисимметричный тензор,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление