Главная > Физика > Квантовая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.4. Излучение длинноволновых фотонов

4.4.1. «Инфракрасная катастрофа».

В предыдущем параграфе мы видели, что вероятность излучения фотона в области малых энергий обратно пропорциональна частоте: полная же вероятность излучения логарифмически расходится при

Эта расходимость в области малых энергий фотона носит название «инфракрасной катастрофы». Она обусловлена незаконностью применения обычной теории возмущений, основанной на разложении матрицы рассеяния в ряд по степеням , к тем процессам, в которых участвуют длинноволновые, или мягкие, фотоны. Действительно, легко убедиться, что если вероятность излучения электроном с энергией одного длинноволнового фотона с энергией, большей ), пропорциональна то вероятность излучения этим же электроном двух фотонов с суммарной энергией, большей со, будет пропорциональна . Поэтому отношение вероятностей по порядку величины равно . Это отношение, а не величина как мы предполагали до сих пор, представляет собой параметр разложения теории возмущений в применении к процессам взаимодействия электрона с длинноволновыми фотонами. Так как параметр при не мал по сравнению с единицей, то теория возмущений в этих случаях, строго говоря, неприменима.

Неприменимость обычной теории возмущений связана с тем, что число фотонов, излучаемых электроном в единичном интервале энергии, стремится при к бесконечности, в то время как в теории возмущений предполагается, что излучение одного фотона всегда более вероятно, чем излучение двух или большего числа фотонов.

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, заметим, что если энергия и импульс k фотона значительно меньше энергии и изменения импульса электрона,

    (4.4.1)

и, кроме того, длина волны фотона X значительно больше классического «радиуса» электрона то можно считать заданным движение электрона и пользоваться классической электродинамикой. Предполагая сначала для простоты, что скорость электрона мала по сравнению со скоростью света, мы можем исходить из формулы для интенсивности дипольного излучения в интервале частот

где d — дипольный момент системы. При очевидно, , где — значения дипольного момента до и после излучения. В интересующем нас случае и — скорости электрона до и после излучения). Таким образом,

    (4.4.2)

Мы видим, что интенсивность излучения в единичном интервале частот стремится при к конечному и отличному от нуля пределу. Отсюда следует, что среднее число излучаемых электроном фотонов частоты равное стремится при к бесконечности, как и утверждалось.

Так как вероятность перехода электрона из состояния с импульсом в состояние с импульсом всегда конечна, то вероятность одновременного излучения бесконечного числа фотонов с бесконечно малой частотой также конечна и отлична от нуля. Поэтому вероятность излучения одного или конечного числа фотонов с равняется в действительности нулю, а не бесконечности, как следует из теории возмущений.

Определим теперь вероятность того, что электрон излучит некоторое произвольное число мягких фотонов, удовлетворяющих условиям (4.4.1). При выполнении этих условий излучение фотонов не влияет на движение электрона и процессы последовательного излучения фотонов будут статистически независимыми. Поэтому вероятность излучения фотонов будет определяться формулой Пуассона

    (4.4.3)

где — среднее число излучаемых фотонов, частота которых лежит в заданном интервале . Эта величина может быть определена согласно классической электродинамике. Именно, если — классическая интенсивность излучения в интервале частот и в телесном угле , то

Чтобы найти напомним, что компоненты Фурье векторного и скалярного потенциалов на расстоянии R равны

где — уравнение траектории электрона, — скорость электрона и к — волновой вектор фотона. Замечая, что получим

    (4.4.5)

где компонента Фурье магнитного поля в точке

Если частота со удовлетворяет условию 1, где — продолжительность времени, в течение которого происходит рассеяние электрона, то можно принять

где — скорости электрона до и после излучения (а и b — константы). Выполнив интегрирование, получим

    (4.4.6)

— единичный вектор в направлении излучения). Если и значительно меньше скорости света, то эта формула переходит в формулу (4.4.2).

Выражая скорость электрона v через его импульс , можно переписать (4.4.6) в виде

— 4-импульсы электрона до и после рассеяния). Величину можно назвать 4-током перехода; она удовлетворяет, очевидно, уравнению непрерывности Поэтому можно представить также в виде

    (4.4.8)

Подставляя это выражение в (4.4.4), получим следующую формулу для среднего числа излучаемых электроном мягких фотонов, частота которых лежит в интервале

Определим теперь вероятность процесса рассеяния электрона во внешнем поле, сопровождающегося излучением, мягких фотонов. Предполагая выполненными условия (4.4.1), можно, очевидно, представить эту вероятность в виде

    (4.4.10)

где — вероятность упругого рассеяния электрона во внешнем поле и — распределение Пуассона (4.4.3). Если , то , согласно (4.4.9), будет равно бесконечности и, следовательно, обратится в нуль. Иными словами, вероятность рассеяния

электрона с излучением конечного числа длинноволновых фотонов равна нулю. В частности, равняется нулю вероятность чисто упругого рассеяния электрона. Так как, с другой стороны, , то

    (4.4.11)

Поэтому можно сказать, что найденная в § 1.7 вероятность упругого рассеяния электрона не учитывающая взаимодействия электрона с полем излучения, представляет собой полную вероятность рассеяния электрона независимо от числа испущенных им мягких фотонов. Эта вероятность, как мы видим, может определяться в случае достаточно слабого внешнего поля с помощью теории возмущений в отличие от вероятности рассеяния, сопровождающегося излучением одного или конечного числа фотонов с со —0: согласно теории возмущений эта вероятность равна бесконечности, тогда как в действительности она равна нулю.

Средняя энергия излучаемых мягких фотонов в интервале частот в телесном угле при рассеянии электрона может быть, согласно (4.4.3), представлена в виде

    (4.4.12)

Эта величина равна, как и следовало ожидать, произведению вероятности упругого рассеяния электрона на классическое выражение для излучаемой энергии. К такому же результату приводит и обычная теория возмущений в области малых частот. Мы видим, таким образом, что среднюю излучаемую энергию и полную вероятность рассеяния электрона (независимо от числа испущенных мягких фотонов) можно определять с помощью обычной теории возмущений как в области больших, так и в области малых частот, хотя вероятность рассеяния электрона, сопровождающегося испусканием конечного числа фотонов с дается теорией возмущений неверно.

Вероятность излучения фотонов, энергия которых не предельно мала, может определяться с помощью обычной теории возмущений, е. разложением матричных элементов в ряд по степеням заряда электрона, но определенную таким образом вероятность излучения одного фотона следует интерпретировать не как вероятность того, что был испущен только один этот фотон, а как вероятность излучения наряду с этим фотоном произвольного числа длинноволновых фотонов с частотой

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление