Главная > Физика > Динамика вязкой несжимаемой жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Задача Громеки о движении жидкости в цилиндрической трубе

Рассмотрим неустановившееся движение вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе в предположении, что по двум её сечениям, находящимся на расстоянии l, распределены давления (рис. 85). Решение этой задачи при переменных давлениях и при произвольном начальном распределении скоростей было дано ещё в 1882 г. в работе И. С. Громеки. Мы будем

Рис. 85.

рассматривать тот случай, когда давления во времени не меняются, а в начальный момент жидкость находится в покое. В силу этих предположений движение вязкой жидкости будет осесимметричным, т. е.

где — полярный угол, проведённый в плоскости перпендикулярной к оси трубы. В полярных координатах дифференциальное уравнение (1.4) прямолинейного движения вязкой жидкости при использовании (5.1) представится в виде

В рассматриваемом нами случае последнее слагаемое, представляющее собой перепад давления, отнесённый к плотности, будет постоянным, т. е.

Начальное условие и условие прилипания будут иметь вид:

Проводя преобразование Лапласа, т. е. переходя от оригинала к изображению в уравнении (5.2) и граничном условии (5.4), получим:

Независимыми решениями уравнения (5.5) без правой части будут функции Бесселя от мнимого аргумента

а частным решением уравнения (3.5) с правой частью будет постоянная

Таким образом, общее решение уравнения (5.5) будет иметь вид

Так как функция обращается в бесконечность при то необходимо постоянную В положить равной нулю. Для определения

постоянной А используем граничное условие (5.5). В результате всего этого для изображения скорости будем иметь:

а для оригинала:

Используя разложение (4.7) и равенства (4.8), получим:

    (5.8)

Функция Бесселя от мнимого аргумента представляется следующим рядом:

Подставляя этот ряд в (5.8), получим:

Между функциями Бесселя от мнимого аргумента и от действительного имеет место следующее соотношение:

На основании этого соотношения корни уравнения

будут представляться в виде

где корни функции Бесселя нулевого порядка

Подставляя значения корней (5.12) в правую часть (5.9), получим:

На основании одного из рекуррентных соотношений для функций Бесселя имеем:

Следовательно, коэффициент будет окончательно представляться в виде

Суммируя (5.10) и (5.14) и подставляя в (5.7), получим решение рассматриваемой задачи в виде следующего ряда:

Чтобы получить формулу для расхода, умножим обе части (5.15) на проинтегрируем от 0 до а и воспользуемся рекуррентной формулой

В результате получим:

Формула Пуазейля (5.9) главы IV получится из (5.16) при предельном переходе времени t к бесконечности.

Для силы вязкости на стенке цилиндрической трубы будем иметь:

Для корней функции Бесселя порядка имеют место следующие равенства:

В нашем случае Полагая в (5.16) и (5.17) и используя (5.18), получим, что для начального момента расход и сила вязкости на стенке обращаются в нули:

С возрастанием времени расход (5.16) и сила вязкости (5.17) на стенке будут возрастать и приближаться к своим предельным значениям, имеющим место при установившемся движении вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление