Главная > Физика > Динамика вязкой несжимаемой жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Движение между неограниченными параллельными стенками

Допустим, что неограниченная стенка, совпадающая с плоскостью является неподвижной, а параллельная стенка, расположенная на расстоянии h от первой, начала перемещаться с момента с постоянной скоростью U в положительную сторону оси х

(рис. 84). Предполагая движение частиц вязкой несжимаемой жидкости строго прямолинейным и используя условия прилипания для рассматриваемой задачи, будем иметь:

Рис. 84.

Выполняя преобразование Лапласа над дифференциальным уравнением и граничными условиями, получим:

где

    (4.3)

Решение задачи (4.2) для изображения будет представляться в виде

Используя формулу (2.14) для обращения преобразования Лапласа, получим для скорости движения частиц следующее интегральное выражение:

Для вычисления интеграла (4.5) по комплексному переменному надо установить вычеты подинтегрального выражения. Приравнивая знаменатель нулю и учитывая, что корни гиперболического синуса являются чисто мнимыми и численно равными целому числу , найдём:

Все полюсы будут простыми, поэтому мы можем воспользоваться разложением мероморфной функции на простые дроби в виде

Для определения вычета мы должны умножить обе части равенства (4.7) на и затем устремить к нулю, т. е.

для определения же вычета надо умножить (4.7) на разность и устремить к значению учитывая, что

Таким образом, для коэффициента получим:

В рассматриваемом нами случае (4.5) будем иметь:

Суммируя вычеты (4.10) и (4.11) и подставляя в (4.5), получим следующее выражение для скорости частиц жидкости:

Выражение (4.12) указывает на то, что при стремлении t к бесконечности

распределение скорости становится линейным, т. е.

Таким образом, решение задачи об установившемся движении жидкости между параллельными стенками получается из решения задачи о неустановившемся движении при обращении t в бесконечность.

Для силы вязкости на движущейся стенке получим из (4.12):

Для начального момента сумма ряда (4.14) обращается в бесконечность. Следовательно, сила вязкости на движущейся стенке в момент начала внезапного перемещения её с конечной скоростью будет обращаться в бесконечность.

Если стенка будет перемещаться с переменной скоростью

то решение задачи по формуле (1.12) будет представляться в виде

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление