Главная > Физика > Динамика вязкой несжимаемой жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Вращение шара в вязкой жидкости

Приближенные дифференциальные уравнения Стокса установившегося движения несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах согласно соотношениям (7.1) главы IV будут представляться в виде

Будем предполагать, что траектории всех частиц суть окружности с центрами на оси , т. е.

При этом предположении из уравнения несжимаемости (8.1) будем иметь

Если считать давление, не зависящим от , то для единственной компоненты скорости получим из (8.1) следующее дифференциальное уравнение:

Рис. 49.

Учитывая выражение (6.12) главы II оператора Лапласа в сферических координатах и (8.3), дифференциальное уравнение (8.4) можно представить в виде

Рассмотрим теперь задачу о вращении шара в безграничной вязкой жидкости с постоянной угловой скоростью и вокруг оси z (рис. 49). Напишем условие прилипания частиц жидкости к поверхности шара:

Будем полагать, что на бесконечном удалении от шара скорость жидкости обращается в нуль:

Вид граничного условия (8.6) указывает на возможность искать решение дифференциального уравнения (8.5) в виде

Подставляя значение из (8.8) в (8.5), получим обыкновенное дифференциальное уравнение

Решение этого уравнения представляется в виде

Для удовлетворения граничного условия (8.7) на бесконечности необходимо положить:

Используя граничное условие прилипания (8.6), получим:

Таким образом, решение рассматриваемой задачи о вращении шара в неограниченной вязкой жидкости будет представляться в виде

На основании (6.9) главы II и предположений (8.2) и (8.3) для касательных компонент напряжения будем иметь:

Подставляя значение из (8.10), получим:

    (8.11)

Для вычисления результирующего момента сил сопротивления вращению шара в вязкой жидкости необходимо выражение (8.11) для умножить на элемент поверхности и на плечо относительно оси и проинтегрировать по всей поверхности шара. В результате мы получим:

Таким образом, при решении задачи о вращении шара в неограниченной вязкой жидкости на основе приближённых уравнений, без учёта квадратичных членов инерции момент сил сопротивления вязкой жидкости пропорционален первой степени угловой скорости вращения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление