Главная > Физика > Динамика вязкой несжимаемой жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА V. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА

§ 1. Приближённые уравнения Стокса

Как уже указывалось в § 8 главы II, основное затруднение в решении дифференциальных уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости для конкретных задач заключается в наличии в левых частях этих уравнений квадратичных членов инерции. Эти квадратичные члены инерции тождественно обращались в нуль, как это мы видели в первых параграфах предшествующей главы, лишь только тогда, когда жидкость считалась несжимаемой, а траектории частиц представляли собой либо параллельные прямые, либо концентрические окружности. Последнее обстоятельство может служить основанием к заключению о том, что для движений вязкой несжимаемой жидкости, для которых траектории частиц будут мало отличаться либо от параллельных прямых, либо от концентрических окружностей, квадратичные члены инерции будут малы и ими с некоторым приближением можно пренебречь. К такому же допущению можно подойти и с другой точки зрения.

В § 3 главы III были установлены дифференциальные уравнения вязкой несжимаемой жидкости в безразмерных величинах. Первое из этих уравнений (3.2) с использованием обозначений характеристических чисел представится в виде

При квадратичных членах инерции в уравнении (1.1) находится множитель в виде одного числа Рейнольдса. Следовательно, если число Рейнольдса считать весьма малым, намного меньше единицы, то квадратичными членами инерции в левых частях дифференциальных уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости можно пренебречь. Однако требование малости числа Рейнольдса по сравнению с единицей является достаточным, но отнюдь не необходимым требованием того, чтобы считать квадратичные члены инерции малыми величинами. Квадратичные члены инерции могут быть малыми

и в том случае, когда число Рейнольдса и немало, но траектории частиц близки к параллельным прямым или концентрическим окружностям. Для сохранения в уравнении (1.1) остальных слагаемых, содержащих множителем также число Рейнольдса, надо, очевидно, предположить, что по порядку величин имеют место неравенства

Обратим внимание на последнее неравенство (1.2). Так как Е представляет собой отношение давления к произведению плотности на квадрат характерной скорости, а число то из этого неравенства получим для давления:

Неравенство (1.3) означает, что при отбрасывании в уравнениях движения квадратичных членов инерции давление будет находиться в прямой зависимости от коэффициента вязкости и характерной скорости в первой степени.

Впервые уравнения движения вязкой жидкости с отброшенными квадратичными членами инерции были широко использованы Стоксом. На этом основании эти уравнения и получили название приближённых уравнений Стокса. В прямолинейных осях координат приближённые уравнения Стокса для движения вязкой несжимаемой жидкости представляются в виде

Дифференцируя первое уравнение по х, второе по у, третье по z, складывая результаты и используя уравнение несжимаемости, получим дифференциальное уравнение для давления

В тех случаях, когда можно либо пренебречь действием массовых сил, либо считать их постоянными, давление будет представлять

собой гармоническую функцию, т. е.

При отсутствии массовых сил

с помощью перекрёстного дифференцирования уравнений (1.4) получим следующие дифференциальные уравнения для компонент вектора-вихря:

Дифференциальные уравнения (1.7) совпадают по своей форме с дифференциальным уравнением процессов свободной теплопроводности и свободной диффузии. Следовательно, при отбрасывании хвадратичных членов инерции вектор-вихрь будет распространяться по законам свободной диффузии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление