Главная > Физика > Динамика вязкой несжимаемой жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Общая постановка задачи об установившемся круговом движении вязкой несжимаемой жидкости

Жидкость будем считать несжимаемой, т. е.

а её движение предполагать установившимся, т. е.

Кроме того, будем пренебрегать действием массовых сил

При этих предположениях дифференциальные уравнения (6.6) и (6.7) главы II движения вязкой жидкости в цилиндрических координатах будут иметь вид

Рассмотрим теперь случай, когда траектории всех частиц представляют собой дуги концентрических окружностей, т. е.

При этом предположении из последнего уравнения (7.1) — уравнения несжимаемости — получим:

Таким образом, скорость каждой частицы вдоль её траектории будет оставаться неизменной; эта скорость может изменяться лишь при

переходе от одной частицы к другой, т. е. в зависимости от переменных

Дифференциальные уравнения (7.1) при использовании тождеств (7.2) и (7.3) принимают вид

Заметим, что благодаря тождествам (7.2) и (7.3) квадратичные члены инерции из основного уравнения, относящегося к искомой скорости совершенно выпали, и задача о круговом движении вязкой несжимаемой жидкости стала линейной. Дифференцируя первое уравнение по и учитывая последнее уравнение, получим:

т. е. круговое движение вязкой несжимаемой жидкости должно быть плоско-параллельным. Во втором уравнении (7.4) слагаемое с давлением перенесём налево и умножим обе части на ; левая часть зависит от а правая часть не должна зависеть от него, следовательно, обе части равны одной и той же постоянной величине, т. е.

Равенство (7.6) означает, что перепад давления вдоль траектории постоянен. Второе уравнение (7.4) для определения скорости при учетё равенств (7.5) и (7.6) будет представляться в виде

или

Проводя последовательно два интегрирования уравнения (7.8), получим его общее решение в виде

Для давления на основании равенства (7.6) и первого уравнения (7.4) будем иметь:

На основании формул (6.5) главы II касательное напряжение силы вязкости для кругового движения представится в виде

Подставляя в правую часть (7.11) значение из (7.9), получим:

Таким образом, для установившегося плоско-параллельного кругового движения вязкой несжимаемой жидкости имеют место закономерности (7.9), (7.10) и (7.12), содержащие четыре произвольные постоянные

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление