Главная > Физика > Динамика вязкой несжимаемой жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Прямолинейно-параллельное движение жидкости между двумя параллельными стенками

В качестве простейшего примера задачи (1.8) прямолинейнопараллельного движения рассмотрим установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными стенками, простирающимися в направлении осей х и z до бесконечности (рис. 26). Обозначим расстояние между стенками через Начало возьмём на средней линии между стенками. Из предположения о плоско-параллельности движения следует:

Рис. 26.

Пусть нижняя стенка перемещается с постоянной скоростью а верхняя — со скоростью Тогда рассматриваемая задача (1.8) сведётся к решению обыкновенного дифференциального уравнения

при граничных условиях

Так как правая часть (3.2) постоянна, то общее решение дифференциального уравнения будет представляться в виде

определяются из граничных условий (3.3):

Таким образом, решение рассматриваемой задачи, удовлетворяющее граничным условиям (3.3), будет иметь вид

Первое слагаемое правой части (3,5) представляет собой то параболическое распределение скоростей в сечении, которое обусловлено наличием одного лишь перепада давлений. Остальные слагаемые представляют собой линейное распределение скоростей, обусловленное движением самих стенок.

Пользуясь гипотезой Ньютона

для силы вязкости будем иметь:

Таким образом, параболическому распределению скоростей в сечении будет отвечать линейное распределение силы вязкости, а линейному распределению скоростей — постоянное значение силы вязкости.

Обозначим через Q расход, т. е. тот объём жидкости, который проходит через каждое сечение за секунду:

Подставляя в правую часть (3,7) значение и из (3.5) и выполняя интегрирование, получим следующее выражение для расхода:

Таким образом, при течении, обусловленном одним перепадом давлений, расход пропорционален перепаду давлений и кубу расстояния между стенками и обратно пропорционален коэффициенту вязкости. При течении же, обусловленном движением стенок, расход пропорционален алгебраической сумме скоростей и половине расстояния между стенками.

Деля расход на расстояние между стенками получим выражение для средней скорости

Рассмотрим случай неподвижных стенок

Максимальная скорость в этом случае будет иметь место на средней линии, т. е. при

Максимальная скорость будет в полтора раза больше средней скорости. Максимального значения сила трения будет достигать на стенках:

За коэффициент сопротивления плоской трубы примем отношение максимального значения силы трения к значению кинетической энергии единицы объёма:

Подставляя значение перепада давлений из (3.10)

и вводя число. Рейнольдса

получим следующее выражение для коэффициента сопротивления:

Таким образом, при прямолинейно-параллельном установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости между параллельными неподвижными стенками коэффициент сопротивления обратно пропорционален числу Рейнольдса. Если по оси абсцисс откладывать логарифмы чисел Рейнольдса, а по оси ординат — логарифмы значений коэффициента сопротивления, то график сопротивления будет, представляться прямой пинией, отсекающей одинаковые отрезки от осей координат (рис. 27).

Рис. 27.

Рассмотренное движение между параллельными стенками называется ламинарным. Таким образом, ламинарное движение между неподвижными параллельными стенками характеризуется следующими необходимыми признаками:

1) прямолинейностью траекторий частиц,

2) параболическим профилем распределения скоростей по сечению

3) соотношением 3

4) график коэффициента сопротивления на логарифмической диаграмме представляет отоезок прямой с наклоном в 45°.

Поскольку при выводе всех соотношений было использовано предположение о прямолинейности траекторий частиц, постольку эти соотношения могут оправдываться только тогда, когда траектории всех частиц действительно будут прямолинейными. Прямолинейный характер траекторий частиц можно ожидать тем скорее, чем меньше будет расстояние между стенками и чем меньше будет средняя скорость частиц. Наблюдения с помощью окрашенной жидкости подтверждают такое заключение; действительно, прямолинейный характер траекторий частиц имеет место при определённых значениях числа R, не превышающих некоторого предела, называемого критическим числом Рейнольдса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление