Главная > Фракталы и хаос > Детерминированный хаос: Введение
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Производная Шварца

Бесконечная последовательность бифуркаций удвоения соответствует не всем унимодальным функциям (т. е. непрерывно дифференцируемым отображениям единичного интервала [0, 1] в себя, имеющим один максимум при и монотонным при и

Кроме свойства унимодальности, необходимо, чтобы производная Шварца функции

была отрицательна на всем интервале [0, 1]. Это, например, справедливо для логистического отображения, так как

Чтобы показать правдоподобность этого на первый взгляд необычного требования, отметим, что из условия следует для всех итераций . Это можно проверить прямым вычислением. Как следствие, обнаружено, что в неустойчивой неподвижной точке функции где

третья производная становится отрицательной при и вблизи , например, ведет себя, как показано на рис. 120, что может привести к бифуркации удвоения. На том же рисунке показано, что такая бифуркация невозможна при

Важность производной Шварца была впервые отмечена в работе (Singer, 1978), где было показано, что унимодальное отображе

Рис. 120. Поведение вблизи точки при

не может иметь более одного периодического аттрактора. Впоследствии Гуккенхеймер и Мизуревич доказали, что в этом случае все точки на отрезке [0, 1] (за исключением множества меры 0) притягиваются к этому аттрактору. Доказательства и ссылки можно найти в монографии (Collet, Eckmann, 1980).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление