Главная > Физика > Классическая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Уравнения Лапласа и Пуассона

В § 4 и 5 было показано, что электростатическое поле описывается двумя дифференциальными уравнениями:

Последнее уравнение эквивалентно утверждению о том, что Е является градиентом некоторой скалярной функции — скалярного потенциала Ф:

Уравнения (1.13) и (1.16) можно объединить в одно уравнение в частных производных для единственной функции

Это так называемое уравнение Пуассона. В тех областях пространства, где плотность заряда равна нулю, скалярный потенциал

удовлетворяет уравнению Лапласа:

Выше мы уже получили выражение (1.17) для скалярного потенциала

Чтобы убедиться в том, что это выражение действительно удовлетворяет уравнению Пуассона (1.28), подействуем оператором Лапласа на обе части равенства (1.17):

Чтобы рассчитать перенесем начало координат в точку (что вполне допустимо); тогда это выражение сведется к , где — абсолютная величина Непосредственный расчет показывает, что при

Однако при это выражение остается неопределенным. Поэтому необходимо прибегнуть к предельному переходу. Поскольку мы можем предполагать, что ведет себя подобно -функции, проинтегрируем это выражение по небольшому объему У, содержащему начало координат. Применяя теорему о дивергенции, мы можем преобразовать этот интеграл к поверхностному

Таким образом, при объемный интеграл от равен . Следовательно, мы можем положить, что или в более общем случае

Установив таким образом значение лапласиана от мы можем закончить доказательство того, что (1.17) удовлетворяет уравнению Пуассона. Действительно, согласно (1.30),

что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление