Главная > Физика > Классическая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ЗАДАЧИ

6.1. а) Показать, что полная энергия системы взаимодействующих элементов тока в магнитном поле в свободном пространстве равна

где — плотность тока.

б) Пусть имеется контуров с токами Показать, что их энергия выражается формулой

Написать интегральное выражение для самоиндукции и взаимоиндукции

6.2. Двухпроводная линия передачи состоит из пары немагнитных параллельных проводов с радиусами а и b, расположенных на расстоянии . Токи текут по этим проводам в противоположные стороны и равномерно распределены по сечению проводов. Показать, что самоиндукция на единицу длины определяется соотношением

6.3. Контур представляет собой тонкую проводящую оболочку радиусом а и параллельный ей внутренний обратный провод радиусом b. Предполагая распределение тока однородным по поперечному сечению провода, рассчитать самоиндукцию на единицу длины. Какова будет самоиндукция, если внутренний проводник является тонкой полой трубкой?

6.4. Показать, что взаимоиндукция двух круглых коаксиальных витков в однородной среде с магнитной проницаемостью равна

где

здесь а и b — радиусы витков, d — расстояние между их центрами, а К и Е — полные эллиптические интегралы.

Получить предельное выражение для случая, когда и а b.

Фиг. 6.5.

6.5. Линия передачи состоит из двух параллельных идеальных проводников произвольного, но постоянного поперечного сечения (фиг. 6.5). Ток течет по одному из этих проводников и возвращается по другому.

Показать, что произведение индуктивности единицы длины на емкость единицы длины равно

где — магнитная и диэлектрическая проницаемости среды, окружающей проводники, а с — скорость света в свободном пространстве.

6.6. Доказать, что произвольный вектор F можно разложить на поперечную и продольную составляющие

такие, что при этом и F определяются выражениями (6.49) и (6.50).

6.7. а) Показать, что одномерное волновое уравнение

имеет общее решение

для граничных условий, при которых величины считаются заданными при для произвольного времени

б) Найти соответствующее решение для граничных условий, заданных при

6.8. Рассмотреть закон сохранения энергии и импульса для макроскопической системы источников и электромагнитных полей в среде, описываемой диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью Показать, что плотность энергии, вектор Пойнтинга, плотность импульса поля и максвелловский тензор натяжений даются выражениями:

Что изменится, если будут зависеть от пространственных координат?

6.9. В тех же предположениях, что и в задаче 6.8, рассмотреть закон сохранения момента количества движения. Показать, что дифференциальная

и интегральная формы закона сохранения имеют вид

и

где плотность момента количества движения электромагнитного поля есть

а поток момента количества движения поля описывается тензором

Замечание. М можно записать в виде тензора третьего ранга, Он антисимметричен по индексам и k и поэтому имеет всего три независимых компоненты. С учетом индекса i тензор имеет девять компонент и может быть представлен как псевдотензор второго ранга, как это и сделано выше.

6.10. Плоская волна падает нормально на полностью поглощающий плоский экран.

а) Используя закон сохранения импульса, показать, что давление (так называемое радиационное давление), действующее на экран, равно энергии поля в единице объема.

б) Вблизи Земли поток электромагнитной энергии от Солнца приблизительно равен Пусть межпланетный «парусный корабль» имеет парус с массой на его площади и пренебрежимо малый вес остальной части. Каково будет максимальное ускорение в обусловленное давлением солнечного излучения? Сравнить с ускорением, обусловленным солнечным «ветром» (корпускулярной радиацией).

6.11. Циркулярно поляризованная волна, распространяющаяся в -направлении, имеет конечную протяженность в и у-направлениях. Предполагая, что амплитуда изменяется медленно (ширина фронта много больше длины волны), показать, что электрическое и магнитное поля приближенно выражаются формулами

где — единичные векторы по осям .

6.12. Для циркулярно поляризованной волны, рассмотренной в задаче 6.11, рассчитать среднюю по времени составляющую момента количества движения, параллельную направлению распространения. Показать, что отношение этой составляющей момента количества движения к энергии волны равно

Объяснить этот результат с точки зрения представления о световых квантах (фотонах). Показать, что для цилиндрически симметричной ограниченной плоской волны поперечные составляющие момента количества движения равны нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление