Главная > Физика > Классическая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Теорема Гаусса

Интегральное выражение (1.5) не очень удобно для расчета электрического поля. Существует другое интегральное соотношение, носящее название теоремы Гаусса, которое иногда значительно удобнее и которое, кроме того, позволяет найти дифференциальное уравнение для Чтобы получить теорему Гаусса, рассмотрим сначала отдельный точечный заряд q и замкнутую поверхность S (фиг. 1.2). Пусть — расстояние от заряда до точки на поверхности — единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S в этой точке, — элемент площади поверхности. Если создаваемое зарядом q электрическое поле Е в рассматриваемой точке поверхности образует угол с единичным вектором нормали , то произведение нормальной составляющей вектора Е на элемент площади равно

    (1.7)

Поскольку вектор Е направлен по прямой, соединяющей заряд q с элементом поверхности , то , где — элемент телесного угла, под которым видна площадка из точки нахождения заряда. Таким образом,

Если теперь проинтегрировать нормальную составляющую Е по всей поверхности, то легко видеть, что

Это и есть теорема Гаусса для единичного точечного заряда. Очевидно, для системы дискретных точечных зарядов она запишется в виде

где сумма берется лишь по тем зарядам, которые находятся внутри S. Для непрерывного распределения зарядов с плотностью теорема Гаусса имеет вид

где V — объем, ограниченный поверхностью S.

Фиг. 1.2. К выводу теоремы Гаусса. Нормальная составляющая электрического поля интегрируется по замкнутой поверхности S. Если заряд находится внутри 5 (случай а), то образуют всегда острый угол, если же заряд находится вне S (случай б), то угол между Е и иногда острый, а иногда тупой.

Уравнение (1.11) — одно из основных соотношений электростатики. Заметим, что его справедливость обусловлена следующими факторами:

1) обратной пропорциональностью силы взаимодействия зарядов квадрату расстояния между ними,

2) центральным характером сил взаимодействия,

3) линейной суперпозицией эффектов, обусловленных различными зарядами.

Очевидно, теорема Гаусса справедлива и для ньютоновских гравитационных сил, конечно, если плотность заряда заменить плотностью распределения материи.

Интересно заметить, что Кэвендиш еще до опытов Кулона, применив фактически непосредственно теорему Гаусса, поставил опыт с двумя концентрическими проводящими сферами и показал, что сила взаимодействия зарядов убывает обратно пропорционально где . Усовершенствовав технику эксперимента, Максвелл показал, что (см. книги Джинса [55] или Максвелла [73]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление