Главная > Физика > Классическая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Разложение по ортогональным функциям

Разложение решения электростатических задач (или других задач математической физики) в ряд по ортогональным функциям — один из наиболее эффективных методов, пригодный для решения широкого класса задач. Конкретный выбор ортогональной системы функций зависит от симметрии, которой обладает (точно или приближенно) рассматриваемая система. Чтобы напомнить общие свойства ортогональных функций и разложений по ним, рассмотрим интервал изменения переменной и совокупность действительных или комплексных функций ортогональных на интервале Условие ортогональности функций выражается соотношением

При интеграл конечен. Мы будем предполагать, что функции нормированы, так что интеграл равен единице. В этом случае систему функций называют ортонормированной она удовлетворяет условию

Произвольная функция с интегрируемым квадратом в интервале может быть разложена в ряд по ортонормированным функциями Если число членов суммы конечно (скажем, равно N), т. е.

то можно поставить вопрос о «наилучшем» выборе коэффициентов так, чтобы ряд «наилучшим» образом воспроизводил функцию Если считать наилучшим приближением такое, при котором среднеквадратичная ошибка

минимальна, то, как легко видеть, для коэффициентов с учетом, условия (2.35) получается выражение

Это — известное выражение для коэффициентов разложения по ортонормированной системе функций.

Если увеличивать число членов в сумме (2.36), то естественно ожидать, что представление функции с помощью ряда будет становиться все более точным. Это действительно имеет место, если система ортонормированных функций является полной, т. е. для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое конечное число что при среднеквадратичная ошибка может быть сделана меньше этого числа. В этом случае пишут

где определяется соотношением (2.38), и говорят, что ряд сходится в среднем к Физики обычно предоставляют математикам проводить весьма кропотливые доказательства полноты системы функций. В математических работах доказано, что все системы ортонормированных функций, которыми обычно пользуются в математической физике, представляют собой полные системы функций.

Ряд (2.39) можно переписать, подставив явное выражение (2.38) для коэффициентов

Поскольку это справедливо для любой функции на интервале , то, очевидно, сумма в фигурных скобках должна быть отлична от нуля лишь в бесконечно малой окрестности точки т. е. должно выполняться соотношение

Это так называемое условие полноты, или замкнутости. Оно аналогично условию ортонормальности (2.35), но непрерывная переменная и дискретный индекс здесь обменялись ролями.

Наиболее известная система ортогональных функций — это тригонометрические функции синус и косинус; разложение по этим функциям носит название ряда Фурье. Для интервала изменения переменной система ортонормированных функций имеет вид

где — целое число. Ряд, соответствующий ряду (2.39), обычно записывают в этом случае в виде

где

Обобщение формул (2.34) — (2.39) на случай нескольких переменных очевидно. Пусть пространство двумерно, переменная меняется в интервале а переменная — в интервале Пусть представляют собой системы ортонормированных функций для этих интервалов. Тогда разложение произвольной функции имеет вид

где

Если интервал становится бесконечно большим, то множество функций становится уже несчетным, а символ Кронекера в (2.35) переходит в -функцию Дирака. Важным примером является интеграл Фурье. Начнем с ортонормированной на интервале системы комплексных экспоненциальных функций

где Разложение в ряд имеет вид

где

Примем теперь, что величина интервала неограниченно увеличивается , и произведем замену

В пределе (2.47) переходит в интегральное разложение

где

Условие ортогональности имеет вид

а условие полноты есть

Последние интегралы являются удобными представлениями -функции. Заметим, что в (2.50) — (2.53) непрерывные переменные совершенно равноправны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление