Главная > Физика > Классическая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Две примыкающие проводящие полусферы, имеющие различный потенциал

В качестве примера применения общего метода нахождения потенциала вне сферы при заданном потенциале на ее поверхности рассмотрим задачу о проводящей сфере радиусом а, составленной из двух полусфер, разделенных тонкой изолирующей прокладкой.

Потенциалы полусфер различны. Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда потенциалы равны соответственно V и — У, поскольку, добавляя к результату решение для сферы, находящейся под постоянным потенциалом, можно получить решение для произвольных потенциалов полусфер.

Фиг. 2.12.

Изолирующая прокладка расположена в плоскости (фиг. 2.12), потенциал верхней полусферы нижней .

Согласно (2.25), решение представляется интегралом

Соответствующей заменой переменных во втором интеграле ) это выражение можно представить в виде

Из-за сложной зависимости у от углов интегралы в выражении (2.27) в общем случае не удается вычислить в замкнутом виде.

В качестве частного случая рассмотрим потенциал на положительной полуоси . В этом случае поскольку После элементарного интегрирования получим для потенциала выражение

При как и следовало ожидать, потенциал Ф равен V, а на больших расстояниях он примерно равен

В общем случае (2.27), когда интегрирование в замкнутом виде не производится, можно разложить подынтегральное выражение в ряд и проинтегрировать каждый член ряда. Вынося за скобки множитель получаем

где Заметим, что в разложении разности радикалов останутся лишь нечетные степени

Интегралы от нечетных степеней по равны

Подставляя (2.30) и (2.31) в (2.29), найдем потенциал

Заметим, что в (2.32) входят лишь нечетные степени как и следует из симметрии задачи. Если принять за параметр разложения не то ряд будет иметь следующий вид:

Для больших значений это разложение быстро сходится, так что им очень удобно пользоваться для вычисления потенциала. Уже при второй член ряда составляет всего 2% от первого. Легко убедиться, что для выражение (2.33) представляет собой разложение в ряд потенциала (2.28) на оси. Угловые множители в выражении (2.33) совпадают с полиномами Лежандра. Первый множитель — полином , второй — , а весь ряд в целом представляет собой разложение потенциала в ряд по полиномам Лежандра нечетного порядка. Мы рассмотрим этот вопрос более последовательно в гл. 3, § 3.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление