Главная > Физика > Классическая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Разложение электромагнитных полей по мультиполям

В области, где источники отсутствуют, уравнения Максвелла имеют вид

При гармонической зависимости величин от времени эти уравнения записываются в форме

    (16.32)

Исключая из первых двух уравнений Е, приходим к следующим уравнениям для вектора В:

Если же мы исключим вектор В, то получим уравнения для вектора Е:

Совокупность трех формул (16.33) или -эквивалентна уравнениям Максвелла (16.32).

Определим теперь мультипольные поля Е и В. Из (16.33) очевидно, что каждая декартова составляющая В удовлетворяет уравнению Гельмгольца (16.3). Поэтому общее решение для каждой составляющей В можно представить в виде (16.16). Объединяя эти выражения, приходим к векторному решению:

    (16.35)

где — произвольные постоянные векторы.

Векторные коэффициенты в (16.35) не вполне произвольны, поскольку должно выполняться условие обращения в нуль дивергенции Так как радиальные функции линейно независимы, то условие должно порознь выполняться для обеих сумм в (16.35). Таким образом, коэффициенты должны удовлетворять соотношению

    (16.36)

Оператор дивергенции может быть заменен операторным множителем

где L — оператор, определяемый согласно (16.25). Подставляя (16.37) в (16.36), приходим к условию

    (16.38)

Из рекуррентных формул (16.14) очевидно, что в общем случае коэффициенты с данным I связаны с коэффициентами где Эта связь отсутствует лишь в том случае, когда векторных коэффициента для каждого значения подобраны так, что

    (16.39)

В этом частном случае окончательное условие на коэффициенты накладывается вторым членом уравнения (16.38):

    (16.40)

Условие (16.39), означающее поперечность поля относительно радиуса-вектора, в сочетании с уравнением (16.40) позволяет однозначно определить системы векторных угловых функций порядка I для каждого заданного значения . Эти функции могут

быть найдены непосредственно из (16.39) и (16.40) с учетом общих свойств функций Однако нетрудно заметить, что угловое решение имеет вид

    (16.41)

Из соотношения (16.27) видно, что условие поперечности поля (16.39) удовлетворяется. Аналогично, используя второе из коммутационных соотношений (16.29) и формулу (16.27), можно показать, что выполняется и второе условие (16.40). А то, что функции удовлетворяют волновому уравнению (16.3), следует из последнего соотношения (16.29).

Итак, принимая условие (16.39), мы приходим к следующей системе частных решений, или электромагнитных мультипольных полей:

    (16.42)

где

    (16.43)

Любая линейная комбинация этих полей с различными индексами и m удовлетворяет системе уравнений (16.33). Характерной особенностью полученных решений является ортогональность вектора магнитной индукции радиусу-вектору Поэтому подобные волны не представляют общего решения уравнений (16.33). Это сферический аналог поперечных магнитных (ТМ), или, иначе говоря, электрических цилиндрических волн, рассмотренных в гл. 8.

Если бы мы исходили из системы уравнений (16.34), а не (16.33), мы пришли бы к другой системе мультипольных полей, в которой радиусу-вектору ортогонален вектор Е:

    (16.44)

Эти сферические волны являются аналогом поперечных электрических (ТЕ), или магнитных, цилиндрических волн.

Точно так же, как в случае цилиндрических волноводов, можно показать, что полученные две системы мультипольных полей (16.42) и (16.44) образуют полную систему векторных решений уравнений Максвелла. Мы будем называть эти мультипольные поля

соответственно электрическими и магнитными (а не поперечно магнитными и т. п.), так как они определяются, как мы увидим, соответственно плотностью электрического заряда и распределением магнитного момента. Ввиду важной роли векторных сферических гармоник удобно ввести нормированные функцииг)

    (16.45)

с условием ортогональности

    (16.46)

Комбинируя оба типа полей, можно написать общее решение уравнений Максвелла (16.32) в виде

    (16.47)

где коэффициенты определяют амплитуды электрических и магнитных мультипольных полей, соответствующих индексам . Радиальные функции имеют вид (16.43). Значения коэффициентов , так же как и амплитуды в (16.43), определяются источниками и граничными условиями.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление