Главная > Разное > Биология и квантовая механика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

22.2. Солитоны в упорядоченных одномерных молекулярных структурах

Если возбуждение перемещается по молекулярной системе со скоростью, меньшей скорости эвука, то это движение сопровождается локальной деформацией системы в области возбужденной молекулы. Поэтому при вычислении энергии коллективного возбуждения надо учитывать и энергию смещения молекул из положений равновесия [23, 25, 107].

Оператор энергии таких сложных возбужденных, состояний должен содержать оператор энергии внутренних возбуждений оператор энергии смещений молекул из равновесных положений и оператор (22.15) взаимодействия внутренних возбуждений и смещений.

Оператор энергии смещений молекул в гармоническом приближении можно записать в виде

где М — масса молекулы; w — коэффициент упругости линейной цепи; — оператор импульса, канонически сопряженный оператору смещения

Итак, гамильтониан анергии коллективных возбуждений содержит три слагаемых

(22.23)

Возбужденные состояния интересующего нас типа найдем в виде функции

(22.24)

где функция 10) описывает основное состояние всех молекул, находящихся в равновесных положениях в цепочке;

(22.25)

Из условия нормировки функции (22.24) следует

(22.26)

Комплексные функции и вещественные функции находятся вариационным методом из условия минимума функционала

(22.27)

При этом величины определяют вероятности распределения внутримолекулярных возбуждений по молекулам цепочки. С помощью (22.23) — (22.25) находим равенства

из которых следует, что функции характеризуют средние значения смещений и импульсов молекул в состоянии, определяемом функцией (22.24).

Условие минимума функционала (22.27) сводится к решению системы связанных уравнений

(22,28)

При этом

Нас будут интересовать только возбуждения, при которых зависимость функций от номера молекулы — плавная. Тогда эти функции можно заменить непрерывными функциями от безразмерной переменной так, чтобы выполнялись равенства

В этом континуальном приближении уравнения (22.28) заменяются дифференциальными уравнениями

где . Значение определяет скорость продольного звука в цепи молекул. Вместо функции , характеризующей смещение отдельных молекул их

равновесных положений в невозбужденной цепи, удобно ввести функцию

(22.30)

характеризующую относительное уменьшение расстояния R между соседними молекулами. Тогда уравнения (22.29) преобразуются к виду

(22.31)

Будем искать решения системы уравнений (22.31), (22.32) в виде возбуждений, распространяющихся вдоль цепочки со скоростью , т. е. положим

Тогда из (22.32) следует

(22.33)

где s — отношение скорости распространения возбуждения к скорости продольного звука, .

Подставив (22.33) в (22.31), найдем нелинейное уравнение Шредингера, определяющее функции

(22.34)

где параметр нелинейности

Точное решение уравнения (22.34), нормированное условием (22.26), которое в континуальном приближении имеет вид

определяется функцией

(22.36)

Подставив это значение в (22.33), находим функцию, характеризующую относительные уменьшения расстояний между молекулами,

Квадрат модуля

(22,38)

определяет распределение вероятности возбуждения отдельных молекул вдоль цепочки. Значение указывает положение максимальной деформации и наибольшей вероятности возбуждения в момент времени . Согласно (22.37) и (22.38), деформация и возбуждение распространяются вдоль цепочки со скоростью Параметр

в выражениях (22.36) - (22.38) определяет область цепочки охваченную возбуждением,

(22.39)

Возбуждения, описываемые функциями (22.36) - (22.39), называются солитонами. Солитон, движущийся со скоростью переносит энергию

где — внутренняя энергия солитона,

— эффективная масса солитона,

При всех конечных значениях скорость солитона всегда меньше скорости продольных звуковых волн в молекулярной цепи, т. е. мягких цепочках (малое значение w) и при большой связи внутренних возбуждений со смещениями молекул (большое значение ) эффективная масса экситона очень велика. Поэтому даже при малых скоростях движения кинетическая энергия солитона может быть большой.

Взаимодействие солитонов с электромагнитными волнами при низких температурах исследовалось в работе [26] для случая неподвижных солитонов и в работе [23] для бегущих солитонов. Оказалось, что взаимодействие фотонов с солитонами существенно отличается от их взаимодействия с экситонами.

Поскольку экситоны и фотоны описываются плоскими волнами, их взаимодействие осуществляется при выполнении законов сохранения энергии и импульса. Начальное и конечное состояния системы соответствуют недеформированной цепочке. Солитоны же являются локальными возбуждениями, поэтому при их взаимодействии со светом закон сохранения импульса может не выполняться.

При наличии солитонного возбуждения молекулярная цепочка локально деформируется. После излучения энергии эта локальная деформация должна исчезнуть. Энергия локальной деформации диссипирует в тепловую энергию колебаний молекул в цепочке. Поскольку эта энергия не излучается, то максимум излучения соответствует частоте

(22.40)

где А — стоксово смещение,

(22.41)

Оно велико в мягких цепочках и при большой связи внутримолекулярных возбуждений со смещениями молекул, которая определяется параметром X.

Большое стоксово смещение по отношению к частоте поглощения позволило бы отличить излучение солитонов от иэлучения экситонов. К сожалению, вероятность излучения исключительно мала. Согласно вычислениям [23], радиационное время жизни солитонного возбуждения определяется выражением

где - вероятности излучения экситона и солитона.

Вероятность излучения (22.42) максимальна у покоящегося солитона.

Если учесть, что, согласно (22.39), область, охваченная в молекулярной цепочке возбуждением, то при v =0 можно записать

Поэтому для мягких цепочек, когда велико стоксово смещение A z К, выполняется неравенство

(22-44)

Следовательно, вероятность излучения фотонов солитонами очень мала. Вероятность же образования солитонов под воздействием света еще меньше. Действительно, поглощение фотона при рождении солитона должно сопровождаться локальной деформацией молекулярной цепи, т. е. уменьшением расстояния между молекулами. Такое смещение тяжелых молекул не успевает произойти за время квантового перехода, обусловленного светом частоты, близкой к частоте внутримолекулярных возбуждений. Квантовый переход произойдет в состоянии, при котором молекулы будут оставаться на своих прежних местах (принцип Франка — Кондона). Таким образом, непосредственно светом можно возбуждать только экситоны.

Солитоны могут возбуждаться только при локальных воздействиях. К таким воздействиям относятся химические реакции. Энергия, выделяемая при химической реакции, происходящей на конце молекулярной цепи, приводит к образованию солитона, который будет перемещаться по молекулярной цепи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление