Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 15. Векторно-скалярное произведение в проекциях.

Обозначая через проекции вектора А, через проекции и через проекции вектора С, найдем сначала

проекции векторного произведения А X В. Согласно формуле (30) эти проекции будут:

Зная теперь проекции первого сомножителя и проекции второго сомножителя С, найдем но формуле (15) их скалярное произведение:

Но правая часть этого равенства есть не что иное, как разложение определителя третьего порядка

по элементам последней горизонтали. Итак, окончательно мы будем иметь:

т. е. векторно-скалярное произведение трех векторов, заданных своими проекциями, равно определителю 3-го порядка, составленному из этих проекций. При этом следует помнить, что в 1-й, 2-й и 3-й строках определителя пишутся в обычном порядке проекции 1-го, 2-го и 3-го из перемножаемых векторов. Пользуясь формулой (36), мы видим, что условие (35), необходимое и достаточное для компланарности векторов запишется в виде:

Пример 1. Вычислить (ABC), если . Пользуясь формулой (36), находим:

Пример 2. Вывести условие того, чтобы четыре точки лежали в одной плоскости.

Искомое условие равносильно условию компланарности векторов и, гледовательно, согласно формуле (37) может быть записано в виде:

Пример 3. При тех же обозначениях, что и в примере 2, объем V треугольной пирамиды ABCD выражается формулой

В самом деле, согласно примеру 1 из § 14 мы имеем:

Так как векторы АВ, AC, AD имеют соответственно проекции то находим:

где знак берется одинаковый со знаком определителя.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление