Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Векторное произведение векторов, заданных проекциями.

Обозначая через проекции вектора А, а через проекции вектора В, выразим через них векторное произведение А на В:

По свойству распределительности суммы векторов умножаются как многочлены. Следовательно, получаем:

Так как i, k представляют три взаимно перпендикулярных единичных вектора и вращение от j к k представляется с конца вектора i совершающимся против часовой стрелки (см. рис. 106), то

следовательно, в полученном выражении (28) для пропадут три слагаемых, остальные же соединятся попарно, и окончательная формула будет:

Формулу (30) можно записать также в символической, легко запоминаемой фэрме, если воспользоваться понятием определителя 3-го порядка:

Для практических вычислений можно рекомендовать такой порядок:

Рис. 106.

1) составляем таблицу из двух строк и трех столбцов, подписывая проекции множителя под проекциями множимого;

2) для получения первой проекции произведения закрываем в этой таблице первый столбец и вычисляем оставшийся определитель 2-го порядка; чтобы получить вторую проекцию произведения, закрываем второй столбец и оставшийся определитель берем с обратным знаком; наконец, для получения третьей проекции произведения закрываем в нашей таблице третий столбец и берем оставшийся определитель 2-го порядка со своим знаком.

Например, если сомножители суть то, пользуясь таблицей

находим проекции .

Заметим, что в силу (30) условие (22) параллельности векторов может быть выражено равенствами

или

т. е. если векторы коллинеарны, то их проекции пропорциональны, и обратно.

Заметим, что переход от (32) к (32) мы могли сделать, лишь если ни одно из чисел не обращалось в 0. Однако в силу того, что равенства (32) имеют значительно более простой вид и постоянно применяются в дальнейшем, мы будем писать их даже и в тех случаях, когда некоторые из знаменателей равны 0. Такую запись нужно понимать, конечно, не буквально (так как на 0 делить нельзя), а условно, просто как удобную сокращенную форму записи равенств (32). Таким образом, (32) будет в дальнейшем означать то же самое, что и (32).

Так, например, равенства

показывают, что , т. е. что

Пример 1. Найти площадь треугольника ABC с вершинами в точках

Так как вектор АВ имеет проекции а вектор АС имеет проекции

Пример 2. Определить синус угла А треугольника ABC с вершинами

Так как векторы АВ и АС имеют соответственно проекции 2, 2, 2 и 1, 2, 4, то

угол следует взять острым, если и тупым, если . В данном случае угол А острый.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление