Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Векторное произведение.

Векторным произведением двух векторов А и В называется новый вектор С, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах А и В, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от А к В вокруг полученного вектора С представлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора С (рис. 102).

Если векторы А и В параллельны, то их векторное произведение считается равным нулевому вектору.

Из этого определения следует, что длина вектора С равна:

т. е. произведению длин перемножаемых векторов, умноженному ни синус угла между ними.

Векторное произведение А на В обозначается символом или Векторное произведение равно нулевому вектору в том и только том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или если эти векторы параллельны (коллинеарны). В самом деле: если или или , то а потому

Обратно, если и перемножаемые векторы не являются нулевыми, то , потому что из условия при вытекает . Так как нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору, то мы можем сказать, что векторное произведение равно нулевому вектору в том и только том случае, когда перемножаемые векторы коллинеарны. Таким образом, условие коллинеарности векторов будет:

    (22)

В частности, всегда

вследствие чего является излишним вводить понятие о векторном квадрате вектора, в то время как мы рассматривали скалярный квадрат в связи со скалярным умножением.

Замечание. Условие (22) коллинеарности двух векторов А и В возможно заменить следующим:

где — некоторое число (§ 4) (считая

Если векторы А и В взаимно перпендикулярны, то и, значит, длина вектора-произведения равна произведению длин векторов сомножителей:

Пример 1. Проверить справедливость равенств где i, j, к суть основные координатные векторы.

Так как векторы i и j направлены по осям координат Ох и Оу, то вектор будет направлен по оси . С другой стороны, длина этого векгора ранна площади прямоугольника, построенного на i и j, т. е. 1. Следовательно, Также очевидно, что имеет длину, равную единице, и направлен в отрицательную сторону оси Ох, следовательно, Пример 2. Показать, что

Действительно,

складывая, находим:

В механике важное значение имеет понятие момента силы относительно данной точки. Если сила F приложена к точке А (рис. 103), то моментом силы F относительно точки О называется вектор М, определяемый формулой

где есть радиус-вектор точки приложения. Из определения векторного произведения следует, что величина момента равна величине силы, умноженной на расстояние ОР точки О от прямой, вдоль которой действует сила.

Рис. 103.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление