Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Направление вектора.

Согласно определению скалярного произведения векторов имеем:

где есть угол между векторами А и В. Из этой формулы получаем:

т. е. косинус угла между векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин.

Выражая числитель и знаменатель последней дроби посредством проекций векторов (§ 9, формулы (15) и (16)), находим:

В частности, полагая в формулах (17) и и замечая, что в этом случае находим:

или

где а есть угол оси Ох с вектором А. Аналогично, взяв , получим:

пли в координатной форме:

Последние формулы дают возможность определить направляющие косинусы вектора (т. е. косинусы углов между осями координат

и вектором) по его проекциям. Далее,

где суть углы осей координат с вектором — углы тех же осей с вектором Последняя формула (20) совпадает с формулой (16) § 4 гл. 1.

Для иллюстрации изложенных результатов рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. Какому условию должны удовлетворять три вектора а, b, с, чтобы из них можно было образовать треугольник, совмещая начало каждого вектора с концом одного из двух других векторов?

Очевидно, необходимым и достаточным условием для этого является то, чтобы сумма векторов а, b и с равнялась нулю:

Пример 2. Доказать, что возможно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника ABC.

Рис. 101.

Обозначая середины сторон треугольника ABC (рис. 101) через выразим векторы, представляющие медианы треугольника, т. е. АА и ВВ, и через векторы а, b, с. Легко видеть из черт. 109, что

так как

Аналогично найдем:

Остается проверить условие примера 1, достаточное для того, чтобы из векторов , можно было образовать треугольник:

Так как условие примера 1 выполняется, то из векторов и , действительно можно составить треугольник.

Пример 3. На точку действуют три силы, проекции которых на прямоугольные оси равны

Найти величину направление равнодействующей.

Обозначая через X, Y, Z проекции равнодействующей, имеем:

Следовательно, величина R равнодействующей R будет:

а ее направление определяется по формулам

Пример 4. Найти угол между векторами По формуле (17) получим:

Пример 5. Дан треугольник . Тогда Вычисляя скалярный квадрат вектора АВ, получим:

или

Обозначая через внутренний угол треугольника ОАВ при вершине О, последней формуле придадим обычный вид:

так как

Рис. 102.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление