Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Скалярное произведение векторов, заданных проекциями.

Обозначая через проекции вектора А, а через проекции вектора В, выразим скалярное произведение А и В:

По свойству распределительности суммы векторов умножаются как многочлены. Следовательно, получаем:

Так как 1, j, к представляют три взаимно перпендикулярных единичных вектора, то

следовательно, в полученном выражении (14) для АВ пропадут шесть слагаемых, и окончательная формула будет:

или словами: скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных проекций.

Прилагая обычное определение степени, естественно называть скалярное произведение вектора самого на себя его скалярным квадратом. Применяя полученную формулу (15) при найдем:

С другой стороны, согласно определению скалярного произведения (§ 7) получаем:

Следовательно, мы имеем следующую формулу для определения длины вектора:

откуда

т. е. длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его проекций.

Заметив, что проекции единичного вектора будут его направляющими косинусами (§ 4 гл. 1), мы из формулы (16) получаем:

что совпадает с формулой (15) § 4 гл. 1.

Пусть теперь даны две точки Найдем расстояние между ними. Заметим, что вектор

есть разность векторов

и

Следовательно, мы имеем:

т. е. проекции вектора на оси координат равны разностям одноименных координат конца и начала вектора. Применяя формулу (16), получим:

т. е. расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек, что совпадает с формулой (6) § 2 гл. I.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление