§ 6. Действия над векторами, заданными своими проекциями.
В § 5 мы заметили, что проекция суммы векторов на любую ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Применяя это предложение относительно каждой оси координат, мы заключаем: При сложении векторов одноименные проекции их складываются. Запишем это так: если
то
Из правила сложения векторов непосредственно вытекает правило вычитания векторов: чтобы вычесть вектор, нужно вычесть его проекции, т. е.
Правило умножении вектора на число получим умножением обеих частей равенства
на
(при этом мы пользуемся свойствами умножении, отмеченными формулами (4) и (6) § 4):
Таким образом, чтобы умножить вектор на число, нужно умножить все его проекции на это число.
Пример. Найти радиус-вектор точки, делящей в отношении Я отрезок АВ между точками
Найдем радиус-вектор
точки М, делящей отрезок АВ в данном отношении Я (см. ч. 2, гл. I, § 2). Очевидно, что
Заметив, что
перепишем наше условие в виде:
откуда
Следовательно,
Обозначая через
, координаты данной точки А, через
координаты другой данной точки В и через
координаты искомой точки М, перепишем формулу (9) в проекциях:
Последние формулы были выведены в гл. I, § 2.