§ 6. Действия над векторами, заданными своими проекциями.

В § 5 мы заметили, что проекция суммы векторов на любую ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Применяя это предложение относительно каждой оси координат, мы заключаем: При сложении векторов одноименные проекции их складываются. Запишем это так: если

то

Из правила сложения векторов непосредственно вытекает правило вычитания векторов: чтобы вычесть вектор, нужно вычесть его проекции, т. е.

Правило умножении вектора на число получим умножением обеих частей равенства на (при этом мы пользуемся свойствами умножении, отмеченными формулами (4) и (6) § 4):

Таким образом, чтобы умножить вектор на число, нужно умножить все его проекции на это число.

Пример. Найти радиус-вектор точки, делящей в отношении Я отрезок АВ между точками Найдем радиус-вектор точки М, делящей отрезок АВ в данном отношении Я (см. ч. 2, гл. I, § 2). Очевидно, что

Заметив, что

перепишем наше условие в виде:

откуда

Следовательно,

Обозначая через , координаты данной точки А, через координаты другой данной точки В и через координаты искомой точки М, перепишем формулу (9) в проекциях:

Последние формулы были выведены в гл. I, § 2.