Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Некоторые приложения определителей к аналитической геометрии.

1. Площадь треугольника. В гл. I, § 10 мы вычислили площадь 5 треугольника по координатам его вершин и получили формулу

которую можно переписать таким образом:

Прибавляя к элементам первых двух строк элементы третьей строки, найдем окончательно:

2. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой.

Если три данные точки находятся на одной прямой линии, то и обратно. Следовательно, условием того, чтобы три данные точки лежали на одной прямой, будет

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Заменив в последнем условии текущими координатами получим уравнение первой степени:

которое определяет прямую линию, проходящую через две данные точки:

Эту задачу возможно также решить с помощью определителей, не прибегая к формуле для площади треугольника. Пусть уравнение искомой прямой линии будет . Так как эта прямая согласно условию должна проходить через точки то координаты последних должны удовлетворять уравнению прямой, т. е.

Итак, имеем три уравнения:

где х, у суть координаты любой точки нашей прямой. Эти уравнения являются однородными относительно неизвестных А, В, С. Эта система должна иметь решение, отличное от нулевого. Как мы знаем, необходимым и достаточным условием для этого является равенство нулю определителя системы, т. е.

Полученное уравнение первой степени относительно х, у изображает, очевидно, искомую прямую. Легко проверить, что координаты двух данных точек удовлетворяют составленному уравнению. Действительно, подставляя вместо х, у координаты данной точки, получим в левой части определитель с двумя одинаковыми строками, который, очевидно, равен нулю. Полученное уравнение можно рассматривать также, как условие того, что три точки лежат на одной прямой.

4. Условие, при котором три прямые пересекаются в одной точке.

Пусть три данные прямые липни

пересекаются в одной точке Координаты этой точки должны удовлетворять уравнениям данных прямых:

Эти равенства показывают, что однородная система

имеет ненулевое решение Следовательно, определитель этой системы должен быть равен нулю, что и дает нам искомое условие:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление