Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Преобразование общего уравнения второй степени.

Рассмотрим теперь общее уравнение степени между переменными

считая, что

Покажем прежде всего, что при помощи поворота координатных осей его всегда можно привести к виду, не содержащему члена с произведением переменных.

Повернем координатные оси на некоторый угол а, который выберем впоследствии.

Как известно, формулы преобразования координат имеют вид:

Заменяя в данном уравнении х и у их выражениями по формулам преобразования, получим:

Раскрыв в этом уравнении скобки и сделав приведение подобных членов, будем иметь уравнение данной линии в новых координаыл. в таком виде:

где для краткости положено:

Выберем угол а так, чтобы коэффициент обратился в нуль, т. е. чтобы

Припомнив, что и

перепишем уравнение (17), определяющее угол поворота а, в таком виде:

Заметим, что так как в противном случае, как видно из уравнения (18), равнялось бы нулю и В, что противоречит условию. Поэтому уравнение (18) можно разделить на , после чего получим

откуда

Таким образом, всегда можно выбрать угол а так, что после поворота координатных осей на этот угол в уравнении линии 2-го порядка исчезнет член с произведением переменных. Угол а мы будем выбирать так, чтобы

Получив по формуле (19), мы воспользуемся известной из тригонометрии формулой (в силу выбора а знаки одинаковы)

и далее по формулам

найдем а, а это позволит вычислить новые коэффициенты

В результате преобразованное уравнение линии примет вид:

где все коэффициенты известны.

Дальнейшее упрощение полученного уравнения (20) производится методами, описанными в § 6.

Пример. Упростить уравнение

и установить вид кривой.

Повернем оси координат на угол а, найдя по формуле (19). В данном случае Следовательно, .

Отсюда а = 45°, Так как то формулы преобразования координат примуг вид

Подставляя эти выражения х и у в данное уравнение, получим

Произведя упрощения, будем иметь

Как и следовало ожидать, полученное уравнение не содержит члена с произведением переменных. Производя дальнейшее упрощение, как это показано в § 6, придем к уравнению

или

Таким образом, исходное уравнение представляет эллипс с полуосями (рис. 81). Чтобы найти координаты центра этого эллипса в системе координат подставим координаты и К точки О, в формулы преобразования. Получим

Рис. 81.

Таким образом, центр эллипса имеет координаты (0, 3).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление