Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 15. Касательная.

Рассмотрим точку на коническом сечении (эллипсе, гиперболе или параболе) и проведем через нее секущую ММ, (рис. 65). Эта секущая пересекает коническое сечение в двух точках: М и Оставляя точку М неподвижной, заставим вторую точку пересечения М, неограниченно приближаться к точке М, следуя по коническому сечению. При этом секущая ММ, будет вращаться около точки то предельное положение, которое займет секущая, когда точка сольется с М, называется касательной к коническому сечению в точке М. Точка М называется точкой прикосновения. Уравнение касательной как прямой, проходящей через точку будет (гл. III, § 9)

где k есть угловой коэффициент касательной в точке М, подлежащий определению. Чтобы определить k, обозначим коордииаты точки через тогда угловой коэффициент секущей ММ, как прямой, проходящей через две точки (гл. III, § 12).

Угловой же коэффициент k касательной будет пределом когда стремится к нулю (точка стремится к точке М), т. е.

Так как h и суть приращения соответственно абсциссы и ординаты точки М коническою сечения, то к является пределом отношения приращения ординаты (функции) к приращению абсциссы (независимого переменного), когда это последнее стремится к нулю. Из дифференциального исчисления известно, что такой предел есть производная от ординаты у по абсциссе х, взятая для точки т. е.

где значок 0 указывает, что значение производной нужно брать для точки Зависимость же функции у от независимого переменного задается уравнением конического сечения.

Пример 1. Составить уравнение касательной к эллипсу в точке

Дифференцируя уравнение эллипса, получим:

Следовательно, . Уравнение касательной будет

Умножая на , получим:

Так как точка лежит на эллипсе, то правая часть последнего уравнения равна 1, и уравнение касательной примет вид:

Пример 2. Составить уравнение касательной к гиперболе точке

Аналогично примеру 1 получим уравнение касательной к гиперболе в виде:

Посмотрим, во что обратится уравнение касательной к гиперболе, если точка удалится в бесконечность. Перепишем уравнение касательной в виде;

и заметим, что удовлетворяет условию

Заставляя теперь точку удаляться в бесконечность, следуя по гиперболе, получим, переходя к пределу в последнем равенстве

Уравнение касательной в пределе примет вид:

Это суть уравнения двух асимптот гиперболы. Таким образом, когда точка касания удаляется в бесконечность, касательная стремится к положению асимптоты гиперболы.

Пример 3. Составить уравнение касательной к параболе в точке

Дифференцируя уравнение параболы, найдем:

Следовательно, и уравнение касательной будет

или, умножая на

Так как точка лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы Заменяя в уравнении касательной его значением, найдем:

Угловой коэффициент касательной в точке конического сечения (эллипса, гиперболы, параболы) возможно определить, не применяя дифференциального исчисления. С этой целью заметим, что направление касательной к коническому сечению в точке совпадает с направлением хорд, сопряженных диаметру, проходящему через точку Следовательно, из условия сопряженности (23) в случае эллипса получим угловой коэффициент касательной в точке если заменим в нем угловым коэффициентом диаметра, проходящего через точку заметив, что получим:

Аналогично для гиперболы из условия (26) найдем угловой коэффициент касательной к ней в точке ):

Наконец, в случае параболы угловой коэффициент k касательной в точке определится из условия прохождения ее диаметра, имеющего уравнение (34) через точку откуда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление