Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14. Диаметры параболы.

Рассмотрим, наконец, параболу, заданную каноническим уравнением

и возьмем систему параллельных между собой хорд с угловым коэффициентом . Выясним, как располагаются середины этих хорд. Обозначим концы любой из этих хорд через а середину — через М (X, К). Так как точки лежат на параболе, то их координаты должны удовлетворять ее уравнению (27), т. е.

С другой стороны, прямая линия имеет угловой коэффициент к, что дает нам соотношение (гл. III, § 12)

Наконец, заметив, что точка М является серединой отрезка получим:

Исключим из пяти соотношений (28) — (32) четыре вспомогательные величины . С этой целью, вычитая равенство (28) из равенства (29), найдем:

или

Внося в последнее равенство согласно (32) вместо суммы ее значение

а вследствие (30) вместо разности ее выражение мы придадим ему вид

сокращая на получим окончательно

откуда (так как )

Таким образом, середины параллельных хорд параболы лежат на прямой

Мы предполагали, что рассматриваемые хорды не параллельны оси Середины хорд, параллельных оси Оу, тоже лежат на прямой — на оси Ох (так как ось Ох является осью симметрии параболы).

Рис. 64

Итак, середины параллельных хорд параболы лежат на прямой. Эта прямая называется диаметром параболы. Диаметр, проходящий через середины параллельных хорд данного направления, условимся называть сопряженным хордам этого направления. Как видно из уравнения (34), все диаметры параболы параллельны оси Ох (оси симметрии параболы) (рис. 64).

Ось Ох (ось симметрии параболы), в отлнчие от остальных диаметров параболы, является диаметром, перпендикулярным к сопряженным ему хордам.

Такой диаметр называют глаеным диаметром параболы.

Рис. 65

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление