Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Диаметры гиперболы. Сопряженные диаметры.

Рассмотрим теперь гиперболу, отнесенную к ее осям симметрии:

и систему параллельных между собой хорд с угловым коэффициентом (рис. 62).

Производя вычисления, аналогичные проделанным для эллипса, найдем, что середины этих хорд лежат на прямой, имеющей уравнение

которое может быть получено из уравнения (22) заменой на так как уравнение гиперболы отличается от уравнения эллипса лишь знаком при Точно так же середниы хорд, параллельных оси Оу, лежат на оси Следовательно, середины параллельных между собой хорд гиперболы лежат, на прямой. Эта прямая называется диаметром гиперболы.

Рис. 62.

Итак, все диаметры гиперболы суть прямые, проходящие через центр. Обозначая угловой коэффициент диаметра гиперболы через имеем:

или

Условимся называть диаметр гиперболы сопряженным хордам, через середины которых он проходит. Условие (26) или (26) связывает между собой угловые коэффициенты параллельных хорд и сопряженного нм диаметра. Так как условие (26) симметрично относительно , то отсюда заключаем: если диаметр с угловым коэффициентом сопряжен хордам с угловым коэффициентом то диаметр с угловым коэффициентом сопряжен хордам с угловым коэффициентом . Таким образом, мы получаем пару диаметров, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому диаметру (рис. 62). Такие два диаметра гиперболы называются сопряженными между собой. Их угловые коэффициенты связаны условием (26) или (26).

Итак, у гиперболы имеется бесчисленное множество пар сопряженных диаметров: каждому диаметру соответствует свой сопряженный диаметр.

Оси координат (оси симметрии гиперболы) представляют собой пару сопряженных и перпендикулярных диаметров. Такие два диаметра называют главными диаметрами гиперболы.

Из условия (26) видно, что угловые коэффициенты и к, двух сопряжении диаметров гиперболы имеют одинаковые знаки, т. е. диаметры проходят в одинаковых четвертях и лежат по разные стороны асимптоты то один из них пересекает гиперболу в двух точках, а другой гипеоболы не пересекает (рис. 63).

С увеличением как следует из условия (26), оставаясь положительным, уменьшается. Это показывает, что при вращении диаметра гиперболы против часовой стрелки сопряженный с ним диаметр вращается в обратную сторону, т. е. по часовой стрелке.

При этом, еслн угловой коэффициент к, одного из диаметров стремится к то угловой коэффициент сопряженного диаметра тоже стремится к

Рис. 63.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление