Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Уравнение конического сечения в полярных координатах.

Задача настоящего параграфа — вывести уравнение конического сечения в полярных координатах, принимая за полюс один из фокусов и за полярную ось — фокальную ось этого конического сечения.

Рис. 59.

Рис. 60.

Пусть ABC (рис. 60) — дуга конического сечения (эллипса, гиперболы или параболы), В — вершина, F — фокус и DE — соответствующая директриса.

Примем точку F за полюс, а прямую BFP — за полярную ось, выбрав на ней направление от фокуса F в сторону, противоположную директрисе; обозначим эксцентриситет кривой через е. Пусть — точка дуги ВС конического сечения, лежащая на перпендикуляре к полярной оси, проходящем через полюс F. Обозначим длину через и будем называть ее фокальным параметром конического сечения.

Пусть — произвольная точка кривой. Составим уравнение, выражающее зависимость между ее полярными координатами данными числами . По общему свойству всех точек конического сечения имеем:

При любом расположении точки М на коническом сечении

Так как то Следовательно,

Тогда равенство (12) можно переписать в виде

откуда

Уравнение (14) будет определять эллипс, если параболу — при гиперболу, когда

В уравнении (14) величина для параболы имеет, очевидно, прежнее значение, т. е. то же, что и в уравнении . В самом деле, для параболы т. е. есть расстояние фокуса до директрисы (параметр параболы).

Для эллипса и гиперболы можно поставить вопрос: как выразить фокальный параметр через полуоси a и b?

В случае эллипса мы подставим в его уравнение коордииаты одной из точек эллипса, а именно ; после этого получим:

или

откуда

В случае гиперболы — координаты ее точки подставим в уравнение, после чего получим:

откуда снова имеем:

Итак, уравнения эллипса, гипербола и параболы, в полярных координатах (при указанном выборе полюса а полярной оси) имеют одинаковый вид:

причем для эллипса и гиперболы фокальный параметр связан с параметрами формулой

В случае гиперболы уравнение (14) выведено для одной ее ветви, легко убедиться в том, что ему также удовлетворяют координаты любой точки, расположенной на другой ветви гиперболы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление