Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.

Сохраняя обозначения предыдущего параграфа, в силу определения гиперболы (гл. IV, § 4) имеем:

где знак плюс относится к правой ветви гиперболы, а знак минус к левой. С другой стороны, как и в предыдущем параграфе, найдем:

    (8)

Из уравнений (10) и (8) находим искомые величины Для этого, переписав уравнение (8) в виде

воспользуемся уравнением (10), что нам даст:

Наконец, решая последнее уравнение совместно с уравнением (10), получим выражения для

Величина входящая в последние формулы, называется эксцентриситетом гиперболы; условимся обозначать ее через е. Очевидно, есть отношение фокусного расстояния к длине действительной оси 2а, причем теперь так как Итак, мы имеем следующие формулы для фокальных радиусов гиперболы:

Назовем прямые перпендикулярные к фокальной оси гиперболы и расположенные на расстоянии от ее центра, директрисами гиперболы, соответствующими правому и левому фокусам. Так как для гиперболы следовательно, директрисы располагаются между вершинами.

Легко показать, что отношение расстояний любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная е. Вследствие симметрии это свойство достаточно обнаружить относительно правого фокуса и соответствующей ему директрисы.

Обозначая через расстояние точки гиперболы до правой директрисы, из рис. 58 усматриваем, что в случае, если находится на правой ветви гиперболы, и если М лежит на левой ветви. Составим теперь отношение пользуясь формулами (11):

Рис. 58.

В обоих случаях отношение будет одинаково и равно:

что и требовалось показать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление