Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Эксцентриситет и директрисы эллипса.

Как известно из § 3, эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых его фокусами, есть величина постоянная. Обозначая через расстояния любой точки эллипса соответственно до его правого и левого фокусов F, и (рис. 50), мы имеем согласно вышеупомянутому определению эллипса:

С другой стороны, применяя формулы расстояния между двумя точками, мм получим (гл. IV, § 3):

где х, у обозначают координаты точки М эллипса, а с — половину фокусного расстояния Возводя два последних равенства в квадрат и вычитая, находим:

Раскрывая скобки и делая приведение подобных членов, получаем:

Из уравнений (7) и (8), считая в них искомыми величинами мы определяем последние. С этой целью, переписав уравнение (8) в виде

воспользуемся уравнением (7), что нам даст:

Решая полученное уравнение совместно с уравнением (7), найдем

Величина входящая в последние формулы, называется эксцентриситетом эллипса; мы будем обозначать ее через е. Очевидно, есть отношение фокусного расстояния к длине большой

оси 2а, причем так как (для окружности ). Таким образом, мы имеем следующие формулы для фокальных радиусов

Рассмотрим прямую параллельную оси Оу, и найдем, во-первых, расстояние , произвольной точки эллипса от его правого фокуса и, во-вторых, — расстояние этой точки М от прямой (рис. 57). Вычислим отношение этих расстояний.

Рис. 57.

Так как то

Если то написанное отношение будет сохранять постоянное значение, равное .

В силу симметрии то же заключение можно сделать относительно левого фокуса и прямой с уравнением

Эти две прямые, перпендикулярные к фокальной оси эллипса и отстоящие на расстояние от его центра, называются директрисами эллипса. Как мы выяснили, они обладают следующим свойством: отношение расстояний любой точки эллипса до фокуса а соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная .

Пример. Найти эксцентриситет и директрисы эллипса Написав уравнение эллипса в виде:

заключаем, что Следовательно, откуда

Директрисы проходят на расстоянии от центра эллипса (начала координат), т. е. на расстоянии, равном Уравнения директрис

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление