Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Уравнение пучка прямых.

В § 9 (см. замечание) рассматривалось уравнение пучка прямых с центром в заданной точке Иногда центр пучка прямых не задается непосредственно, а определяется парой прямых, принадлежащих пучку. Тогда координаты центра пучка можно найти, решая совместно уравнения данных прямых. Однако можно и не вычислять координат центра пучка, а воспользоваться в этом случае другой формой уравнения пучка прямых. Пусть прямые

пересекаются в некоторой точке Составим уравнение

где — произвольный параметр.

При любом значении к уравнение (17) определяет прямую линию, так как оно является уравнением первой степени относительно переменных х и у. Легко показать, что прямая проходит через точку . Действительно, так как точка принадлежит каждой из заданных прямых, то

откуда

Следовательно, координаты точки пересечения двух данных прямых удовлетворяют уравнению (17).

Таким образом, уравнение (17) при различных значениях определяет прямые, принадлежащие пучку с центром в точке .

Остается выяснить, можно ли из (17) при надлежащем выборе получить уравнение любой из прямых пучка.

Пусть — произвольная точка плоскости, отличная от Прямая, определяемая уравнением (17), пройдет через эту точку, если координаты ее будут удовлетворять уравнению (17), т. е. если

Отсюда следует, что при

мы получим из (17) уравнение прямой, проходящей через произвольно выбранную точку плоскости.

Параметр X нельзя подобрать только в том случае, если точка будет лежать на прямой (тогда формула, определяющая К, не будет иметь смысла). Следовательно, уравнение (17) при различных значениях К будет определять все прямые пучка, кроме одной (второй из двух данных). Уравнение этой последней прямой, очевидно, может быть получено из уравнения

Уравнение вида (17) называют уравнением пучка прямых.

Пример. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых

перпендикулярно к прямой

Первый способ. Решая уравнения совместно, находим координаты точки пересечения прямых:

(см. пример 1, § 10)

Из условия перпендикулярности прямых угловой коэффициент нужной нам прямой . Следовательно, искомое уравнение будет

откуда

Второй способ. Искомое уравнение можно записать в виде:

    (17)

или

Угловой коэффициент прямой линии, определяемой последним уравнением, будет

Чтобы прямая, уравнение которой нужно найти, была перпендикулярна к прямой нужно положить

Тогда будем иметь:

откуда

или

Подставляя найденное значение X в уравнение (17), получим после упрощений искомое уравнение:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление