Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Однополостный гиперболоид.

Уравнение поверхности, полученной от вращения гиперболы

около оси будет:

(гл. VI, § 4). Это уравнение определяет поверхность, называемую однополостным гиперболоидом вращения. Пересекая его плоскостью параллельной плоскости хОу, получим в сечении окружность, уравнения которой будут

н радиус которой равен

Следовательно, при изменении h от до окружность (13) описывает одпополостный гиперболоид вращения.

Возьмем теперь вместо окружности (13) эллипс

лежащий в плоскости параллельной плоскости полуоси которого суть:

При изменении h от до этот эллипс описывает поверхность, уравнение которой получим, исключив h из двух уравнений (14):

Поверхность 2-го порядка, определяемая уравнением (II), называется однополостным гиперболоидом, а величины а, b, с — его полуосями.

Пересекая поверхность (II) плоскостями координат получим в сечении соответственно эллипс и две гиперболы:

Как следует из предыдущего, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью параллельной плоскости получается эллипс (14) с полуосями (15). При изменении h от до эти полуоси изменяются, оставаясь пропорциональными полуосям а и b эллипса, лежащего в плоскости и мы можем однополостный гиперболоид рассматривать как поверхность, образованную движущимся эллипсом (плоскость которого остается параллельной

плоскости хОу), который при движении остается себе подобным и концы осей которого скользят по гиперболам (16) в плоскостях Если то уравнение (II) определяет однополостный гиперболоид вращения с осью вращения

Рис. 121.

Уравнение (II) содержит только квадраты координат, откуда следует, что однополостный гиперболоид симметричен относительно начала координат, а плоскости координат являются его плоскостями симметрии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление