Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Эллипсоид.

Мы видели (гл. VI, § 4), что уравнение поверхности, полученной вращением эллипса

вокруг оси будет:

Это уравнение определяет поверхность, называемую эллипсоидом вращения. Пересекая этот эллипсоид плоскостью , параллельной плоскости получим в сечении окружность, уравнения которой будут:

и радиус которой равен

Следовательно, при изменении h от значения —с до значения окружность (9) описывает эллипсоид вращения.

Возьмем теперь вместо окружности (9) эллипс

лежащий в плоскости параллельной плоскости полуоси которого суть:

При изменении от —с до +с этот эллипс описывает поверхность, уравнение которой получим, исключив h из двух уравнений (10):

Поверхность 2-го порядка, определяемая уравнением (I), называется эллипсоидом, а величины а, b, с — полуосями эллипсоида.

Пересекая эллипсоид плоскостями координат получим в сечении эллипсы:

Как мы уже видели, в сечении эллипсоида плоскостью параллельной плоскости получается эллипс (10) с полуосями (11). При изменении h от —с до +с эти полуоси изменяются, оставаясь пропорциональными полуосям а и b эллипса, лежащего в плоскости хОу (рис. 120). Два эллипса с пропорциональными полуосями называются подобными. Таким образом, эллипсоид можно рассматривать как поверхность, образованную движущимся эллипсом (плоскость которого остается параллельной плоскости хОу), который при движении остается себе подобным и концы осей которого скользят по эллипсам (12) в плоскостях

Рис. 120.

Не уменьшая общности, мы можем считать Если то уравнение (1) определяет сферу; если то уравнение (I) определяет удлиненный эллипсоид вращения с осью вращения если , то уравнение (1) определяет сжатый эллипсоид вращения с осью вращения Если среди чисел а, b и с нет равных, то эллипсоид называется трехосным.

Уравнение (I) содержит только квадраты координат, откуда следует, что эллипсоид симметрпчеп относительно начала координат, а плоскости координат суть его плоскости симметрии, так как если некоторая точка М (х, у, z) находится на эллипсоиде, то и точки находятся на эллипсоиде при произвольном выборе знаков у координат.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление