Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости.

Две прямые в пространстве, вообще говоря, не лежат в одной плоскости. Посмотрим, при каком условии две прямые

лежат в одной плоскости.

Обозначим направляющий вектор первой из них через а второй — через

Как видно из данных уравнений, первая прямая проходит через точку радиус-вектор которой мы обозначим через . Вторая же прямая проходит через точку Радиус-вектор этой точки обозначим через Проведем вектор из точки в точку Он выразится так: а проекциями его будут

Из геометрических соображений ясно, что данные прямые лежат в одной плоскости в том и только в том случае, если эти три вектора компланарны. Следовательно, искомое условие заключается в равенстве нулю смешанного произведения этих трех векторов (гл. II, § 14), т. ч.

Переписав это условие в проекциях, получим:

Пример 1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (1, 1, 1) и пересекающей две данные прямые:

Уравнения искомой прямой, проходящей через точку (1, 1, 1), суть:

Условие нахождения этой прямой с первой из данных прямых в одной плоскости имеет вид:

Условие нахождения искомой прямой со второй из данных прямых в одной плоскости запишется в пиде:

что по сокращении на 2 даст:

Остается определить отношение из двух уравнений: Разделив каждое из этих уравнений на , находим неизвестные:

Подставляя в уравнения искомой прямой вместо , соответственно 0, 1, 2, получим окончательные уравнения прямой, проходящей через точку (1, 1, 1) и лежащей в одной плоскости с первой прямой и в одной плоскости со второй прямой;

Легко проверить, что эта прямая действительно пересекается с каждой из двух заданных прямых

Пример 2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку пересекающей прямую и перпендикулярной к прямой

Уравнения искомой прямой будут:

где отношение определяется из условий:

из которых первое есть условие нахождения искомой прямой в одной плоскости с первой из данных прямых (см. пример 1), а второе выражает перпендикулярность искомой прямой со второй из данных прямых. Из этих условий находим:

Уравнения искомой прямой будут:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление