ГЛАВА V. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
§ 1. Уравнения прямой линии.
Положение прямой линии в пространстве будет вполне определено, если зададим на прямой определенную точку
при помощи ее радиуса-вектора
и вектор s (отличный от нулевого), которому прямая параллельна (рис. 116), Этот вектор s назовем направляющим вектором прямой. Переменной точке М прямой линии соответствует ее радиус-вектор
и из рис. 116 мы получаем:
Рис. 116.
Заметив, что вектор
параллелен вектору s, мы его выразим таким образом:
где числовой множитель t может принимать любые значения в зависимости от положения точки М на прямой. Следовательно, равенство (1) можно переписать так:
причем t играет роль переменного параметра. Уравнение (2) назовем векторным уравнением прямой линии.
Желая заменить уравнение
равносильными ему координатными уравнениями, обозначим декартовы координаты точки
относительно системы с началом координат в точке О через а, b, с (это будут проекции радиуса-вектора
), текущие координаты точки М — через
(проекции радиуса-вектора
) и, наконец, проекции вектора s — через
. Тогда, написав уравнение (2) в проекциях, получим:
(3)
Когда параметр
изменяется, точка с координатами х, у, z, определяемыми из уравнений (3), движется по данной прямой. Уравнения (3) называют параметрическими уравнениями прямой линии. Так как
— проекции направляющего вектора s, которому прямая параллельна, то числа
характеризуют направление прямой линии в пространстве и их принято называть направляющими коэффициентами этой прямой. Заметим, что при единичном векторе
коэффициенты
становятся косинусами углов
, образованных данной прямой (направлением вектора
) с осями координат
. В этом случае уравнения (2) и (3) примут вид:
причем в этом случае параметр t имеет простое геометрическое значение: t обозначает расстояние переменной точки М от точки
, взятое со знаком или — в зависимости от того, будет ли направление вектора
одинаково или противоположно направлению вектора
Другими словами, в уравнениях
есть величина направленного отрезка
рассматриваемой прямой, считая, что положительное направление прямой совпадает с направлением вектора
Посмотрим, возможно ли определить
зная
. Очевидно, имеем:
где s обозначает длину вектора s. Переписав последнее равенство в проекциях, получим:
(4)
т. e. m, n, p пропорциональны направляющим косинусам прямой линии, причем множителем пропорциональности служит длина
вектора
.
Таким образом, из равенств (4) находим:
Следовательно, направление прямой в пространстве определяется отношениями
ее направляющих коэффициентов, что дает возможность считать длину вектора
произвольной.
Вместо параметрических уравнений (3) и (3 обычно определяют прямую линию посредством системы двух уравнений первой степени между текущими координатами. Эти уравнения получаются из уравнений (3) или (3) путем исключения параметра t. Так, из уравнений (2) находим:
или
Уравнения
назовем каноническими уравнениями прямой линии.
В частности, при
уравнения (5) примут вид:
Система двух уравнений (5) представляет нашу прямую линию как пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями
Заметим, что в канонических уравнениях все коэффициенты
одновременно не могут обратиться в нуль, так как
Но некоторые из них могут быть равны нулю. В этом случае запись (5) понимают условно, в том смысле, как это разъяснялось в § 13 гл. II.
Пусть, например,
Тогда в соответствии со сказанным в § 13 гл. II
т. е.
Тот же результат мы, конечно, получим и из уравнений (3). Заметим, что равенства
и
означают геометрически одно и то же: первое из них показывает, что прямая перпендикулярна к оси
а второе, что прямая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси Ох.
Замечание. Можно вывести уравнения прямой линии, не прибегая к векторам. Возьмем на прямой линии определенную точку
и переменную точку
. Обозначим через а, Р, у углы данной прямой (определенным образом выбранного направления этой прямой) с осями координат
а через q — расстояние
, взятое со знакомили — в зависимости от того, будет ли направление отрезка одинаково или противоположно выбранному направлению на прямой.
Проекции отрезка
на оси координат
суть соответственно:
. По формуле, выражающей проекцию отрезка (гл. I, § 3), имеем:
Рис. 117.
Исключая q из трех последних уравнений, запишем уравнения прямой липни в виде
Умножая знаменатели отношении (5) на одно и то же произвольное число, представим уравнения прямой линии в виде
суть количества, пропорциональные косинусам углов прямой линии с осями координат, т. е.
Эти уравнения (5) называют каноническими уравнениями прямой линии.