Главная > Математика > Аналитическая геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Расстояние от точки до плоскости.

Условимся называть отклонением данной точки от данной плоскости число d, равное длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, взятой со знаком плюс, если точка и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и со знаком минус, если они лежат по одну сторону от плоскости; для точек, лежащих на плоскости, отклонение равно нулю. Ясно, что расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине отклонения.

Пусть требуется найти расстояние от данной точки до плоскости, заданной нормальным векторным уравнением

Задача состоит в том, чтобы найти длину перпендикуляра опущенного из точки на плоскость (рис. 114). Замечая, что вектор АЖ, параллелен единичному вектору п°, мы можем его представить так;

Числовой множитель d, взятый но абсолютной величине, очевидно, дает нам искомое расстояние; знак же d будет положительным, если векторы имеют одинаковое направление е. если точки лежат по разные стороны плоскости, как на рис. 114), и отрицательным, если эти векторы имеют противоположные направления (т. е. точки лежат по одну сторону плоскости). Таким образом, d является отклонением от плоскосш.

Заметив это, из рис. 114 усматриваем:

или

Так как, с другой стороны, точка к лежит на плоскости

то радиус-вектор этой точки должен удовлетворять уравнению плоскости, т. е. имеем:

откуда

Рассматривая выражение, полученное для d, замечаем, что оно есть результат подстановки , вместо в левую часть нормального уравнения плоскости.

Выражая скалярное произведение через проекции сомножителей, получим в координатах

т. е. чтобы найти отклонение точки от плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения плоскости подставить вместо текущих координат координаты данной точки.

Для вычисления расстояния от точки до плоскости следует взять абсолютную величину полученного отклонения.

Рис. 115.

Замечание. Задача о расстоянии от точки до плоскости может быть решена и без применения векторного метода.

Пусть даны уравнение плоскости в нормальном виде

и точка (рис. 115). Найдем отклонение d точки от данной плоскости, т. е. взятую с надлежащим знаком длину перпендикуляра опущенного из точки на плоскость.

Проведем через начало координат прямую I перпендикулярно к плоскости и установил на этой прямой положительное направление от начала координат в сторону данной плоскости. Рассмотрим ломаную и найдем ее проекцию на ось l. Так как проекция ломаной равна проекции замыкающего отрезка (гл. I, § 3), то

С другой стороны, Проекции ломаной равна сумме проекций ее звеньев (гл. I, § 3), т. е.

Следовательно, равенство (27) запишется так:

Так как (гл. I, § 3) имеем:

то равенство (27) запишется таким образом:

откуда

Пример. Найти расстояние от точки (1, 2, 3) до плоскости

Напишем нормальное уравнение данной плоскости, умножив данное уравнение на нормирующий множитель:

получим:

Отклонение точки от плоскости будет: Знак минус означает, что данная точка и начало координат лежат по одну сторону данной плоскости. Искомое расстояние равно

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление