Главная > Математика > Алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

70. Среднее гармоническое

Средним гармоническим положительных чисел о, b называется число, обратное к которому является средним арифметическим между , т.е. число

Задача 358. Доказать, что среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического.

Решение. Обратная к среднему гармоническому величина есть среднее арифметическое чисел обратная к среднему геометрическому величина есть среднее геометрическое чисел так что остается сослаться на неравенство о среднем арифметическом и геометрическом.

Задача 359. Числа положительны. Доказать, что

Решение. Искомое неравенство можно переписать в виде

т. е. надо доказать, что среднее арифметическое чисел больше или равно их среднего гармонического. Это становится ясным, если вставить между ними среднее геометрическое:

последнее неравенство сводится к неравенству о среднем арифметическом и геометрическом чисел .

Другое решение использует следующий трюк. Будем доказывать более общее неравенство (называемое неравенством Коши—Буняковского)

(если подставить в него получим требуемое).

Чтобы доказать неравенство Коши—Буняковского, рассмотрим квадратичный трехчлен

Раскрыв в нем скобки и сгруппировав члены по степеням х, получим трехчлен

где

При любых x этот трехчлен неотрицателен — ведь он есть сумма квадратов. Значит, его дискриминант не больше нуля, т.е.

и

Как Вам понравился этот трюк?

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление