Главная > Математика > Алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

63. Доказательства числовых неравенств

Все приводимые в этом разделе неравенства можно в принципе было бы доказать, вычислив левую и правую части. Однако это, как правило, не наилучший способ.

Задача 311. Доказать, что

Решение. Каждый из 100 членов суммы находится между . Если бы все они равнялись , то сумма равнялась бы ; если бы все они равнялись то в сумме они дали бы 1.

Задача 312. Доказать, что

Решение. Левое неравенство получится, если сгруппировать

(первая скобка равна 1/2, а все следующие положительны). Правое получится, если записать

Замечание. На самом деле две предыдущие задачи говорят об одном и том же, так как

Задача 313. Убедитесь в этом.

Решение.

Задача 314. Доказать, что .

Первое решение.

Что получится, если раскрыть скобки? Один член будет равен 1 (произведение всех единиц). Еще будут члены, которые получатся, если в одной скобке взять 0,01, а во всех остальных — по единице. Таких членов будет 100, а каждый из них равен 0,01. Будут и другие члены (равные 0,012, 0,013 и т. п.), но уже эти в сумме дают

Второе решение.

Задача 315. Доказать, что

Решение.

Отсюда (складываем все неравенства)

Пары противоположных членов сокращаются, и остается что меньше 2.

Задача 316. Что больше: или

Задача 317. Доказать, что

Доказать, что при некотором

Указание. В выражении

каждая скобка не меньше 1/2 и не больше 1 (см. выше).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление