Главная > Математика > Алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

54. Квадратное уравнение становится линейным

Посмотрим на квадратное уравнение . По общему правилу оно имеет два корня, если его дискриминант , т. е. если .

Задача 272. Верно ли это?

Ответ. Неверно, так как при получается уравнение , имеющее единственный корень х = 1.

Формалист сказал бы, что при а = 0 наше общее правило неприменимо, так как уравнение не является квадратным. И он прав. Но все-таки как же это так: жило-было квадратное уравнение имело оно себе два корня, но мы начали менять а и вдруг один корень пропал, когда а стало равно нулю. Куда же он делся?

Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим на формулу для корней из предыдущего пункта:

Если а близко к нулю, то , так что

но

т.е. очень велико. Видно, что при приближении а к нулю корень приближается к 1, а «уходит в бесконечность» — и «возвращается с другой стороны».

Как это происходит, видно на рис. 16.

Рис. 16

Нарисуем точки , для которых или, другим словами, график функции . Чтобы найти решения уравнения при данном а, надо пересечь горизонтальную прямую, проходящую на высоте а, с данным графиком. Представим себе, что горизонтальная прямая движется сверху вниз,

оставаясь горизонтальной. Вначале (при а > 1/4) она не пересекает графика — решений нет. Затем (при а = 1/4) появляется одна точка пересечения, которая сразу же раздваивается (как только а становится меньше 1/4). Один из корней уходит в положительную бесконечность, когда а приближается к 0, а затем возвращается из отрицательной бесконечности, после чего оба корня приближаются к нулю с разных сторон.

Задача 273. Что происходит с корнями уравнения

при изменении а?

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление