Главная > Разное > Аэродинамика. Избранные темы в их историческом развитии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Число Рейнольдса

Если мы продолжим исследование явления сопротивления, то увидим, что случай, когда сопротивление создается испусканием вихрей, является достаточно частным. Например, если мы измерим сопротивление кругового цилиндра, двигающегося с различными скоростями, то обнаружим три различных режима скорости. Если скорость достаточно мала, то сопротивление пропорционально скорости. При этом режиме нельзя наблюдать периодические вихри. Если скорость увеличивается, то коэффициент лобового сопротивления становится почти независимым от скорости и можно наблюдать обычную картину периодических вихрей. Если скорость возрастает далее, то периодический отрыв вихрей все же продолжает сохраняться, но прекрасной обычной картины вихрей больше не существует. Затем, более или менее неожиданно, коэффициент падает до существенно меньшей величины.

Теперь возникает вопрос: что определяет эти любопытные изменения в величине одного и того же коэффициента? Этот вопрос относится к фундаментальной проблеме, изучением которой впервые занялся в 1883 году Осборн Рейнольдс (1842-1912), профессор Манчестерского университета [11]. Задача заключается в следующем: какой закон подобия преобладает в механике жидкостей?

Однако прежде чем обсуждать эту задачу, мне следует объяснить некоторые вещи относительно природы жидкостного трения. Жидкостное трение не похоже на трение твердых тел, такое как трение между книгой и столом, если всю книгу заставить скользить по поверхности стола. Действие трения между движущейся жидкостью и твердой поверхностью лучше всего проиллюстрировать следующим примером. Предположим, что книга, содержащая много страниц, лежит на письменном столе, и верхнюю обложку медленно подвигают параллельно поверхности стола. Страницы соскальзывают одна на другую,

но нижняя обложка липнет к поверхности стола. Подобным образом частицы жидкости липнут к поверхности тела, так что между жидкостью и твердой поверхностью нет скольжения. Однако около поверхности скорость жидкости возрастает с расстоянием от поверхности, т. е. она имеет определенный градиент. Градиент скорости течения создает трение между последовательными слоями жидкости, которое мы называем вязким трением. Прилипание жидкости к поверхности, вероятно, объясняется молекулярной или атомной структурой твердого тела и жидкости. Оба состоят из частиц, атомов или молекул. Движение молекул в воздушном течении состоит в поступательном движении в направлении потока, на которое накладывается беспорядочное движение. Атомы твердого тела занимают постоянное среднее положение с безвоздушными пространствами между ними. В целом, в соответствии с физической теорией, в мире существует намного больше безвоздушного пространства, чем пространства, занятого материей. Если молекулы попадают в безвоздушные пространства твердого тела, то они теряют свою поступательную скорость при столкновении с молекулами твердого тела; и если они отскакивают, то возвращаются с беспорядочной скоростью, не отдавая предпочтения какому-либо направлению течения. Следовательно, средняя скорость воздушного потока прямо на поверхности нулевая или равна скорости твердого тела, если твердое тело движется.

На довольно больших высотах, где плотность воздуха очень мала и где молекулы воздуха находятся на большом расстоянии друг от друга, воздух может скользить по поверхности твердого тела, как одно твердое тело скользит по поверхности другого. (Раздел аэродинамики, занимающийся такими явлениями, называется супераэродинамикой или аэродинамикой разреженных газов, но в данное время мы забудем об этом и не будем учитывать течение такого разреженного воздуха.) Поэтому предположим, что скорость воздуха совпадает со скоростью твердого тела на поверхности и что трение, действующее как на поверхности, так и во внутренней области течения является вязким трением, определяемым градиентом скорости течения.

Закон, определяющий вязкое трение, первоначально предложил Ньютон [12], а позднее его обобщили в виде системы математических уравнений Клод Луи М. А. Навье (1785-1836) [13] и сэр Джордж

Г. Стокс (1819-1903) [14]. Предполагается, что касательная сила, действующая на единицу площади между двумя граничащими слоями жидкости, пропорциональна градиенту скорости течения. Постоянная пропорциональности называется коэффициентом внутреннего трения или вязкостью, и это одна из характерных физических постоянных жидкости. Она велика для «липких» жидкостей типа смазочного масла и мала для «водянистых» жидкостей типа самой воды или воздуха.

Теперь рассмотрим явления течения, где геометрические формы границ или погруженных тел подобны. Например, рассмотрим две картины течения, в каждой из которых сфера движется с равномерной скоростью в бесконечно простирающейся жидкости в состоянии покоя. Диаметр сферы, скорость движения, а также плотность и вязкость жидкости могут быть различными. Мы хотим найти условие, при котором картина течения останется подобной. Другими словами, мы хотим найти закон механического подобия для геометрически подобных ситуаций.

Во-первых, должны быть перечислены все силы, действующие на элемент жидкости. Это силы тяжести, трения, сила инерции, и давление. Забудем на время о силе тяжести, поскольку сила тяжести обычно не оказывает заметного влияния на аэродинамические явления, носящие локальный характер, хотя она важна в крупномасштабных явлениях типа рассматриваемых в метеорологии. В несжимаемой жидкости давление — это вид пассивного противодействия, величина которого как раз достаточна, чтобы уравновесить другие силы, действующие на элемент жидкости. Следовательно, нам достаточно рассмотреть трение и силы инерции. Если соотношение между этими силами не изменится, то картина течения останется подобной.

Сила инерции, действующая на элемент жидкости, равняется скорости изменения количества движения в единицу времени. Масштаб длины всей картины можно охарактеризовать произвольно выбранной длиной L, например диаметром сферы. Если U является характерной скоростью, такой как скорость движения, то масштаб времени явления задается Наконец, пусть является плотностью, а коэффициентом вязкости жидкости. Тогда массы двух подобных элементов жидкости в обеих картинах течения будут соотноситься как относительные значения количества движения — как и скорости изменения количества движения — как или Мы могли бы начать с этого выражения, доказывая, что сила инерции должна быть

пропорциональна динамическому давлению и что поэтому сила, действующая на подобные элементы, пропорциональна

Сила трения, действующая на единицу площади, пропорциональна потому что она равняется градиенту скорости сквозь течение, умноженному на коэффициент внутреннего трения . Тогда равнодействующая сил трения на струйный элемент пропорциональна или . Следовательно, соотношение между инерцией и силами трения пропорционально

где называется коэффициентом кинематической вязкости. Если мы сравним напряжения, т. е. силы, действующие на единицу площади элемента жидкости, то обнаружим, что для достижения механического подобия нормальное напряжение или давление, пропорциональное должно быть в постоянном соотношении к касательному напряжению или напряжению трения, пропорциональному .

В заключение можно сказать, что если соотношение имеет одинаковое численное значение для обоих течений, то можно ожидать, что картины течения останутся подобными. Другими словами, если диаметр сферы первой системы в два раза больше диаметра сферы во второй системе, то мы должны заставить скорость сферы первой системы равняться половине скорости во второй системе для того, чтобы получить подобные картины течения, при условии, что движение происходит в жидкости с одинаковой кинематической вязкостью. Если кинематическая вязкость одной системы составляет одну десятую вязкости второй, то произведение линейного размера и скорости первой системы также должно быть в десять раз меньше для того, чтобы картины течения обеих систем оставались подобными. Выражение является безразмерной величиной и называется числом Рейнольдса.

Одним показательным примером закона подобия, приведенного в предыдущем параграфе, является метод увеличения числа Рейнольдса во время экспериментов в аэродинамической трубе. Вообще размеры модели для аэродинамической трубы уменьшаются в определенном масштабе относительно прототипа. Тем не менее можно достичь механического подобия, используя жидкость с низкой кинематической вязкостью; эту идею независимо друг от друга предложили Маргулис [15]

и Мунк [16]. В частности, Мунк рассмотрел допустимость аэродинамической трубы, использующую в качестве рабочей жидкости сжатый воздух, и в соответствии с этой идеей в NACA была построена аэродинамическая труба переменной плотности. Поскольку плотность или давление оказывают лишь незначительное влияние на коэффициент вязкости газа то эффект от увеличения давления должен уменьшить кинематическую вязкость.

В соответствии с кинетической теорией газов, коэффициент внутреннего трения пропорционален где с есть средняя молекулярная скорость теплового возмущения, а Л средняя длина свободного пробега молекулы. Таким образом, опуская несущественный числовой коэффициент, число Рейнольдса можно также выразить через:

то есть произведение отношения скорости тела к молекулярной скорости и отношения линейного размера тела к средней длине свободного пробега. Как мы докажем в следующей главе, молекулярная скорость является величиной того же порядка, что и скорость звука; средняя длина свободного пробега для воздуха в нормальных условиях очень мала, порядка двух миллионных дюйма в длину. Следовательно, что касается обычного течения низкой скорости, то мала, а велика, и в законе подобия в виде числа Рейнольдса появляется только их произведение. Однако если скорость близка к скорости звука, то отношение больше не является малой величиной и появляется отдельно в качестве второго параметра подобия. Этот параметр называется числом Маха, и мы встретим его в следующей главе в качестве определяющего параметра.

При определенных условиях соотношение становится вторым независимым определяющим параметром, а именно, если средняя длина свободного пробега сравнима с размерами тела. Это происходит, например, в уже упоминавшемся случае тела, движущегося в очень разреженном воздухе, например на большой высоте. В этом случае мы оказываемся в области, где больше не применяется механика сплошных жидкостей, а следует учитывать столкновения между молекулами.

Исключим случаи, когда скорость соизмерима со скоростью звука, а средняя длина свободного пробега соизмерима с размерами тела. Тогда число Рейнольдса — единственный определяющий параметр, и если

Рис. 33. Коэффициент лобового сопротивления кругового цилиндра как функция числа Рейнольдса.

число Рейнольдса имеет одно и то же значение, то течение подобно, и поэтому все безразмерные коэффициенты должны иметь одно и то же значение. Другими словами, безразмерные параметры вообще следует рассматривать как функции числа Рейнольдса. Я был не совсем прав, когда сказал, что коэффициент лобового сопротивления кругового цилиндра зависит только от скорости. Это верно, если диаметр цилиндра и кинематическая вязкость жидкости остаются неизменными. Фактически, коэффициент лобового сопротивления кругового цилиндра зависит от числа Рейнольдса, как показано на рис. 33.

Интересный факт, что ни сам Рейнольдс, ни кто-либо другой из английских ученых, его последователей, не дал конкретного названия безразмерному параметру в честь Рейнольдса этот параметр назвал в 1908 году Арнольд Зоммерфельд (1868-1952). Число Рейнольдса сейчас повсеместно используется в гидродинамике, аэродинамике, гидравлике и других науках, которые вынуждены заниматься течением жидкости. В некоторых случаях оно работает почти как черная магия.

Вспоминаю следующий опыт. В 1911 году известный немецкий специалист по физической химии Эмиль Бозе опубликовал статью, содержащую очень точные измерения разности давлений течения в трубопроводе различных органических жидкостей [17]. Он использовал один

и тот же аппарат для всех жидкостей и измерил время, требующееся для протекания через одну и ту же трубу равных объемов различных жидкостей, и соответствующую разность давлений между двумя концами трубы. Сравнив результаты для разных жидкостей, он обнаружил, что, например, хлороформ — жидкость менее вязкая, чем вода при малых скоростях, но ведет себя почти также, как вода при более высоких скоростях; бромоформ более вязок, чем ртуть при малых скоростях, но становится «менее вязким», чем ртуть при более высоких скоростях. Очевидно, «менее вязкий» в этом случае означает, что для одинаковой скорости течения требуется меньшая разность давлений. Я предложил использовать число Рейнольдса (представляющее собой среднюю скорость, умноженную на диаметр трубы и разделенную на кинематическую вязкость) в качестве параметра и установил, что формулы, предложенные Бозе для представления своих экспериментальных результатов с девятью жидкостями, можно было бы объединить в одну единственную формулу [18].

На рис. 34 в логарифмической шкале представлен измеренный перепад давления Р в зависимости от времени Т, требуемого для оттока одинакового объема Q четырех выбранных жидкостей кубических сантиметров). На рис. 35 построен график безразмерной величины как функции другой безразмерной величины которая для геометрически подобного аппарата пропорциональна числу Рейнольдса. Видно, что все данные, показанные на четырех кривых рис. 34, лежат на единой кривой. Это доказывает не столько верность закона подобия, в экспериментальном подтверждении которого нет необходимости, сколько точность измерений Бозе.

Извиняясь перед специалистами по гидравлике, которые могут прочитать эту книгу, должен сознаться, что я некогда называл гидравлику «наукой переменных постоянных». Истина заключается в том, что большинство постоянных величин, встречавшихся в старых книгах по гидравлике, являются просто функциями числа Рейнольдса. После принятия понятия числа Рейнольдса специалистами по гидравлике и инженерами-химиками, весьма прояснился весь предмет течений в трубопроводах и каналах. Однако прошло много времени, прежде чем вся значимость идей Рейнольдса проникла в умы физиков, химиков и инженеров. В американской литературе по гидравлике в двадцатых годах эквивалент числа Рейнольдса появляется как «коэффициент турбулентности».

(см. скан)

Рис. 34. Экспериментальные результаты Бозе по перепаду давления течения в трубопроводе. Построен график логарифма перепада давления Р в килограммах на квадратный сантиметр в зависимости от логарифма 1/Т, где Т — время в секундах, требуемое для оттока одинакового объема (8,81 кубических сантиметров) жидкости. (Из статьи Е. Bose, D. Rauert, and М. Bose в Physikalische Zeitschrift, 10 [1909], 406-409, и 12 [1911], 126-135.)

Я сказал, что число Рейнольдса работает как черная магия, потому что в инженерном деле иногда можно использовать правило подобия и другие общие методы для сокращения параметров, не слишком разбираясь в самих явлениях.

Это напоминает мне, как великий инженер Чарльз Ф. («Босс») Кеттеринг, тогда директор исследовательского отдела Дженерал Моторе, однажды сказал мне во время обеда с ним и покойным Робертом

Рис. 35. Безразмерное представление экспериментальных результатов Бозе с графика рис. 34. Обозначения те же, что и на рис. 34; — соответственно плотность и вязкость жидкостей. (Из статьи Т. фон Кармана в Physikalische Zeitschrift, 12 [1911], 283-284.)

Э. Милликеном: «Должен признаться, что термодинамика всегда была для меня черной магией!»

Это интересное наблюдение великого инженера-практика, который, несомненно, должен был применять в своей работе закон энтропии и другие правила термодинамики!

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление