Главная > Разное > Аэродинамика. Избранные темы в их историческом развитии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Некоторые основные понятия механики жидкостей и газов: теорема Жуковского

Если мы хотим описать динамику элемента жидкости в течении, то можно показать, что в наиболее общем случае она состоит из перемещения, вращения и деформации (рис. 17). В теории механики жидкостей движением жидкости мы называем потенциальное течение или безвихревое течение, в котором вращение равно нулю, так что элемент только переносится и деформируется; тогда как если элемент еще и вращается, то мы называем течение вращающимся потоком или вихревым течением. Термин потенциальное течение возник из математического понятия потенциала скоростей.

Рис. 17. Перемещение, вращение и деформация элемента жидкости.

Рассмотрим несколько простых примеров безвихревого и вихревого течений. Сначала возьмем параллельный поток с равномерной скоростью. Это, очевидно, самый простой пример безвихревого течения, потому что элементы жидкости не испытывают ни вращения, ни

Рис. 18. Параллельное сдвиговое течение.

деформации. Все элементы просто перемещаются параллельно, как автомобили при движении по прямой дороге. Затем рассмотрим двумерное параллельное сдвиговое течение, т. е. течение в котором скорости всех частиц параллельны, но их распределение через сечение, перпендикулярное направлению течения, неравномерно. Это пример течения с вращением или вихревого течения. Понятие вращения можно объяснить следующим способом. Поместим две стрелки в точке А в течении, которое имеет линейное распределение скоростей (рис. 18), одну в направлении потока, а другую перпендикулярно этому направлению; понаблюдаем, что случится с обеими стрелками, если они двигаются вместе с жидкостью от А к В. Первая стрелка перемещается параллельно своему направлению, но вторая поворачивает с потоком. В этом случае имеем как деформацию, так и вращение элемента. Амплитуда вращения элемента жидкости определяется средним вращением двух стрелок, т. е. вращением их биссектрисы. Мы видим, что элемент вращается, потому что угол наклона биссектрисы относительно направления течения, который первоначально составлял 45°, уменьшается по мере того, как мы продолжаем двигаться по потоку. Это простейший пример вихревого течения. Однако необходимо обязательно отметить, что слово вихрь не обязательно предполагает вращение всей жидкости. Мы привели в пример параллельное течение, где вращается каждый элемент, и в научном понимании именно вращение элементов характеризует вихревое течение. Неспециалист считает, что если мы говорим о вихревом течении, то должны подразумевать, будто что-то вращается с большой скоростью.

Теперь рассмотрим так называемое циркуляционное течение, в частности течение, в котором частицы жидкости двигаются по круговым линиям тока. Если мы представим, что жидкость вращается как твердое тело (например, как цельнолитое колесо), то ясно, что перед

Рис. 19. Циркуляционное течение с постоянной завихренностью.

нами вихревое течение, потому что по правилу двух стрелок в этом случае каждый элемент вращается с определенной угловой скоростью (рис. 19). Здесь нет деформации. Это простейший пример вихревого течения с круговыми линиями тока; угловая скорость элементов постоянна. Мы называем это течение вихревым течением с постоянным вращением или постоянной завихренностью. К сожалению, угловая скорость — это не то же самое, что завихренность. Обе величины отличаются множителем два, поскольку математики определяют завихренность как удвоенную угловую скорость, чтобы придать более эстетичный вид некоторым формулам в векторном анализе.

Теперь возникает вопрос, существует ли распределение скоростей, где линиями тока являются круги, но само течение безвихревое, и элементы жидкости не вращаются. Существование подобного течения, как и вихревого течения, можно продемонстрировать с помощью двух стрелок. Задача заключается в установлении распределения скоростей вдоль радиуса, так чтобы биссектриса между обеими стрелками сохраняла свое первоначальное направление. В этом случае скорость частиц жидкости обязательно уменьшается с увеличением расстояния от центра циркуляционного движения. Простой расчет или эксперимент выполненный в соответствии с моделью, показанной на рис. 20, без труда показывают, что скорость должна быть обратно пропорциональна расстоянию от центра О. Или можно сказать, что произведение постоянная величина. В механике жидкостей мы предпочитаем записать

Рис. 20. Циркуляционный поток с ядром внутри и безвихревым течением снаружи. Центр в точке О; и обозначает скорость жидкости (касательную), а r - радиус.

формулу в виде . Выражение равно длине окружности круговой линии тока, а произведение скорости и окружности называется циркуляцией. Поэтому размерность циркуляции — фут в секунду, умноженный на фут.

Если течение является потенциальным движением, т. е. безвихревым движением, то циркуляция постоянна для всех линий тока. Очевидно, что подобное движение не может иметь физический смысл, приближаясь к центру, потому что скорость в этой точке была бы бесконечной. Поэтому должна быть сердцевина или ядро, где течение не является потенциальным. Существуют две физические возможности. Одна возможность состоит в том, что в ядре мы имеем жидкость, которая вращается. Обычно мы допускаем, что ядро вращается приблизительно как твердое тело, т. е. завихренность имеет постоянное значение в пределах ядра (рис. 20). Подобное сочетание мы называем вихрем или завихренностью. Оно состоит из ядра жидкости, вращающегося как твердое тело, и циркуляционного течения с направленной наружу уменьшающейся скоростью. Однако вместо ядра жидкости, у нас в качестве сердцевины может быть также твердое тело. Тогда снаружи твердого тела мы можем иметь циркуляционное течение без завихренности. Это тот случай, который мы рассматриваем, например, когда говорим об эффекте Магнуса. Во-первых, мы допускаем, что вокруг мяча или цилиндра существует циркуляционное течение. Затем мы

сообщаем телу поступательное движение, и объединенное течение создает подъемную силу. Жуковский доказал, что если цилиндрическое тело с произвольным поперечным сечением двигается со скоростью U в жидкости, плотность которой , и вокруг него существует циркуляция величиной Г, то создается сила, равная произведению на единицу длины цилиндра. Направление силы перпендикулярно как скорости U, так и оси цилиндра.

Таким образом, мы можем объяснить явление подъемной силы, если вокруг тела действительно существует циркуляция. Для читателя, которому нравится мыслить математическими или геометрическими терминами, отмечу, что он может обобщить определение циркуляции, взяв среднее значение касательной составляющей скорости вдоль произвольной замкнутой кривой, окружающей тело, и умножив его на длину дуги этой кривой. Если течение безвихревое, то это произведение имеет одинаковое значение, независимое от выбора кривой. Таким образом, мы имеем общее определение циркуляции, обобщенное на основе циркуляционного течения с круговыми линиями тока. Если мы возьмем замкнутую кривую, которая не охватывает тело, но окружает только жидкость, то циркуляция вокруг кривой будет равна нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление